2014 年

一

$\displaystyle \frac{\mathrm d ^2 y(t)}{\mathrm d t^2}+7\frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm d t}+12y(t)=x(t)$ $\displaystyle x(t)=e^{-5t}u(t),y(0^-)=1,\frac{\mathrm d y(0^-)}{\mathrm d t}=-2$ $y_{zp}(t)$ $y_{zs}(t)$ .

二

画方块图的题。

三

$x(t)=u(t+1)-u(t-3)$ $\displaystyle h(t)=\begin{cases}1-t&,0\le t\le 1\\0,&t<0,t>1\end{cases}$ $y(t)=x(t)*h(t)$ .

$u(t)$ $h(t)$ ，即

\begin{matrix} f (t) = u (t) * h (t) = \int_{- \infty}^{t} h (t) d t = {\begin{cases} 0, & t \leq 0 \\ t - \frac{t^{2}}{2}, & 0 < t < 1 \\ \frac{1}{2}, & t \geq 1 \end{cases} \end{matrix}

则

y (t) = f (t + 1) - f (t - 3)

\begin{matrix} y (t) = {\begin{cases} 0, & t \leq - 1 \\ (t + 1) - \frac{(t + 1)^{2}}{2}, & - 1 < t \leq 0 \\ \frac{1}{2}, & 0 < t \leq 3 \\ \frac{1}{2} - (t - 3) - \frac{(t - 3)^{2}}{2}, & 3 < t \leq 4 \\ 0, & t > 4 \end{cases} \end{matrix}

四

一个因果线性时不变系统可用二阶常系数线性微分方程描述。已知

$H(s)$ $s=-2$ $s=1$ ；
$t$ $1$ $-1$ ；
$h(0^+)=2$ 。

$H(s)$ 和描述该系统的微分方程。

因为系统为因果系统，所以分母阶次高于分子，可以设为

H (s) = A \frac{s - 1}{(s + 2) (s - s_{0})}

$1$ $e^{0t}$ $-1$ ，因此

A \frac{- 1}{2 \cdot (- s_{0})} = - 1

根据初值定理和连续性，

h (0^{+}) = lim_{s \to \infty} s H (s) = A = 2

$s_0=-1$ .

系统函数为

H (s) = 2 \frac{s - 1}{(s + 2) (s + 1)} = \frac{2 s - 2}{s^{2} + 3 s + 2}

描述系统的微分方程为

2 x^{'} (t) - 2 x (t) = y^{″} (t) + 3 y^{'} (t) + 2 y (t)

五

1

$x(t)=2[u(t+1)-u(t-1)]$ $E_{\infin}$ .

E_{\infty} = \int_{- 1}^{1} 4 d t = 8

2

$x(t)=2e^{j10\pi n}+e^{j(4\pi n-1)}$ $N$ .

N = 1 即 可

3

$y[n]=nx[n]$ 是线性时变系统。

线性 $\alpha x_1[n]+\beta x_2[n] \to \alpha y_1[n]+\beta y_2[n]$ .

时变 $x[n-n_0]\to nx[n-n_0]\not = y[n-n_0]$ .

4

$h[n]=\delta[n+1]+2\delta[n]+3\delta[n-1]$ $x[n]=u[n]-u[n-4]$ $y[n]$ .

y [n] = x [n] * h [n] = 2 δ [n] + 3 δ [n - 1]

5

$x(t)=\displaystyle \sum_{n=-\infin}^{\infin} w(t-2n)$ $\displaystyle w(t)=\begin{cases}t,&0\le t<1\\0,&1\le t<2\end{cases}$ $x(t)$ $X[k]$ .

$2$ ，

\begin{matrix} X [k] = \frac{1}{T} \int_{0}^{2} w (t) e^{- j k ω_{0} t} d t \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t e^{- j k π t} d t = \frac{1 - e^{- j k π}}{2 j k π} \end{matrix}

6

画图题

7

$\displaystyle x(t)=\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-n}u[-n]\right]*\left[2(n+1)\left(\frac{1}{3}\right)^n u[n]\right]$ 的 z 变换。

{(\frac{1}{2})}^{n} u [n] \overset{Z}{⟷} \frac{z}{z - \frac{1}{2}}, | z | > | 1 / 2 |

{(\frac{1}{2})}^{- n} u [- n] \overset{Z}{⟷} \frac{z^{- 1}}{z^{- 1} - \frac{1}{2}} = \frac{2}{2 - z}, | z | < 2

n {(\frac{1}{3})}^{n} u [n] \overset{Z}{⟷} \frac{\frac{1}{3} z}{{(z - \frac{1}{3})}^{2}}, | z | > \frac{1}{3}

{(\frac{1}{3})}^{n} u [n] \overset{Z}{⟷} \frac{z}{z - \frac{1}{3}}, | z | > \frac{1}{3}

2 (n + 1) {(\frac{1}{3})}^{n} u [n] \overset{Z}{⟷} \frac{2 z^{2}}{{(z - \frac{1}{3})}^{2}}, | z | > \frac{1}{3}

结果：

\frac{2}{2 - z} \frac{2 z^{2}}{{(z - \frac{1}{3})}^{2}}, \frac{1}{3} < | z | < 2

8

$\displaystyle h(t)=\frac{\sin 3t-\sin t}{\pi t}$ $x(t)=1+0.5\cos (2t)+0.25\cos (4t)$ $y(t)$ .

$H(j\omega)$ $1<|\omega|<3$ $y(t)$ $0.5\cos (2t)$ .

9

$\displaystyle H(j\omega)=\frac{j\omega+4}{(j\omega+2)(j\omega+3)}$ $h(t)$ .

H (j ω) = \frac{2}{j ω + 2} + \frac{- 1}{j ω + 3}

h (t) = 2 e^{- 2 t} u (t) - e^{- 3 t} u (t)

10

$\displaystyle x(t)=\frac{\sin (100\pi t)}{t}$ $\displaystyle y(t)=\frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm d t}+x^2(t)$ $y(t)$ $y(nT)$ $T$ $T$ $y(nT)$ $y(t)$ ？为什么？

x (t) \overset{F}{⟷} π Gate (100 π)

y (t) 最 大 频 率 为 200 π

$\omega_s\ge 400\pi$ $T<0.005$ ，才能恢复。