2019

选择题

1

$x(t-3)\delta (t+2)=\underset{―}{x(-5)\delta (t+2)}$$x(t-3)\delta(t+2)=\underline{x(-5)\delta(t+2)}$.

2

频率响应为 $H(j\omega )=e^{-2j\omega }$$H(j\omega)=e^{-2j\omega}$ 的因果 LTI 系统的单位阶跃响应为 $\underset{―}{u(t-2)}$$\underline{u(t-2)}$.

3

下面信号中，属于非周期信号的是：

• $x(t)=e^{-j5t}$$x(t)=e^{-j5t}$. 是周期信号；

• $x[n]=\cos (n^2\pi /8)$$x[n]=\cos (n^2\pi/8)$.

  $(n+T{)}^2\pi /8-n^2\pi /8=2k\pi$$(n+T)^2\pi/8-n^2 \pi/8=2k\pi$.

  $(2n+T)T\pi /8=2k\pi$$(2n+T)T\pi/8=2k\pi$.

  令 $T=16$$T=16$，可得 $2(2n+16)\pi$$2(2n+16)\pi$. 因此是周期信号。

• $X(\omega )=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{0.5}^n{e}^{-j\omega n}$$X(\omega)=\sum_{n=0}^{+\infin} 0.5^n e^{-j\omega n}$.

  属于非周期信号。

• $x(t)={\displaystyle \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-|t-2n|}}$$x(t)=\displaystyle \sum_{n=-\infin}^{+\infin} e^{-|t-2n|}$.

  观察到：

  $$x(t+2)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-|t+2-2n|}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-|t-2(n-1)|}=x(t)$$

  因此周期为 2.

4

以下关于 Fourier 分析的论述中不正确的是：

• 离散时间序列的 Fourier 变换结果一定是以 $2\pi$$2\pi$ 为周期的（正确）

• 不满足绝对可积条件的信号的 Fourier 变换一定不存在。（错误，比如 $u(t)$$u(t)$）

• 在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似（正确，能量最小）

• 持续时间时有限的信号，频域上占据的频谱宽度必定是无限的。（正确，例如 Gate 函数）

5

以下关于拉氏变换 $F(s)$$F(s)$ 的极点位于 $s$$s$ 平面的位置与对应函数 $f(t)$$f(t)$ 的关系的叙述中，正确的是：

• 当 $F(s)$$F(s)$ 仅有的两个极点关于 $j\omega$$j\omega$ 轴对称时，则 $f(t)$$f(t)$ 也是偶函数；

  错误，两个极点不一定都是实数，举例 $s_{1,2}=1\pm i$$s_{1,2}=1\pm i$，

  $$f_t=(e^{(1+i)t}+e^{(1-i)t})u(t)=2e^t\cos t\cdot u(t)$$

• 若 $f(t)$$f(t)$ 为实函数，则 $F(s)$$F(s)$ 的所有极点一定都位于实轴上；

  错误，可能关于实轴对称，例如 $\sin t$$\sin t$.

• 当 $F(s)$$F(s)$ 的一阶极点越远离实轴，则 $f(t)$$f(t)$ 对应的振幅增长越快；

• 当 $F(s)$$F(s)$ 的一阶极点实部越大，则 $f(t)$$f(t)$ 对应的振幅振荡频率越高。

  对于极点 $\sigma +j\omega$$\sigma+j\omega$，$\sigma$$\sigma$ 越大，振幅增长越快，$\omega$$\omega$ 越大，振荡频率越高。

6

已知 LTI 系统 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}+y(t)=x(t)}$$\displaystyle \frac{\mathrm d y(t)}{\mathrm d t}+y(t)=x(t)$，则对所有的 $t$$t$，当 $x(t)=e^{2t}$$x(t)=e^{2t}$ 时，$y(t)=$$y(t)=$（）。

• $e^{2t}$$e^{2t}$

• ${\displaystyle \frac{1}{2}{e}^{2t}}$$\displaystyle \frac{1}{2}e^{2t}$

• ${\displaystyle \frac{1}{3}{e}^{2t}}$$\displaystyle \frac{1}{3}e^{2t}$

• 以上都不对

7

若 $x[n]u[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}X(z)$$x[n]u[n] \overset{\mathcal Z}{\operatorname*{\longleftrightarrow}} X(z)$，则 $nx[n]u[n]\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}$$nx[n]u[n] \overset{\mathcal Z}{\operatorname*{\longleftrightarrow}}$（）

• ${\displaystyle -z\frac{\mathrm{d}X(z)}{\mathrm{d}z}}$$\displaystyle -z\frac{\mathrm d X(z)}{\mathrm d z}$;

• $z{\displaystyle \frac{\mathrm{d}X(z)}{\mathrm{d}z}}$$z\displaystyle \frac{\mathrm d X(z)}{\mathrm d z}$;

• $X(-z)$$X(-z)$;

• ${\displaystyle X\left(\frac{1}{z}\right)}$$\displaystyle X\left(\frac{1}{z}\right)$.

8

若某基波周期为 1 的周期信号 $x(t)$$x(t)$ 的傅里叶级数系数为 $\begin{array}{c}{\displaystyle a_k=\{\begin{array}{ll}1,& k=\pm 1\\ 0,& else.\end{array}}\end{array}$$\displaystyle a_k=\begin{cases}1,&k=\pm1\\0,&else.\end{cases}$，则 $x(t)$$x(t)$ 为：

因为基波周期为 $1$$1$，所以 $2\pi /\omega =1$$2\pi/\omega=1$，因此 $\omega =2\pi$$\omega=2\pi$.

9

已知序列 $x[n]$$x[n]$ 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })=[\cos (\omega ){]}^2$$X(e^{j\omega})=[\cos (\omega)]^2$，则 $x[n]$$x[n]$ 为

因此：

10

信号 $x(t)=tu(t-1)$$x(t)=tu(t-1)$ 的拉普拉斯变换为

• ${\displaystyle \frac{1}{s^2}{e}^{-s}+\frac{1}{s}{e}^{-s}}$$\displaystyle \frac{1}{s^2}e^{-s}+\frac{1}{s}e^{-s}$

• ${\displaystyle \frac{1}{s^2}{e}^{-s}-\frac{1}{s}{e}^{-s}}$$\displaystyle \frac{1}{s^2}e^{-s}-\frac{1}{s}e^{-s}$

• ${\displaystyle \frac{1}{s^2}{e}^{-s}}$$\displaystyle \frac{1}{s^2}e^{-s}$

• ${\displaystyle \frac{1}{s}{e}^{-s}}$$\displaystyle\frac{1}{s}e^{-s}$

可知先求时域平移的拉普拉斯变换：

然后再 $t\to t-1$$t\to t-1$ 即可。

11

设 $f(t)$$f(t)$ 为一带限信号，其最高频率为 ${\omega }_m$$\omega_m$。信号 $g(t)=f(t)\cdot f(2t)$$g(t)=f(t)\cdot f(2t)$。如果对 $g(t)$$g(t)$ 进行采样，则不发生混叠时的最低采样频率 ${\omega }_s=$$\omega_s=$?

可知：

• $F(j\omega )$$F(j\omega)$ 最高频率为 ${\omega }_m$$\omega_m$；

• $F(j\omega /2)$$F(j\omega/2)$ 最高频率为 $2{\omega }_m$$2\omega_m$；

两者卷积最高频率为 $3{\omega }_m$$3\omega_m$，最高频率 ${\omega }_s=2\cdot 3{\omega }_m=6{\omega }_m$$\omega_s=2\cdot 3\omega_m=6\omega_m$.

12

记某因果 稳定 LTI 系统的系统函数为 $H(s)$$H(s)$。若 $H(s)$$H(s)$ 为有理式，则 $H(s)$$H(s)$ 的 ROC 应为?

• $\mathrm{Re}\{s\}>{\sigma }_0$$\operatorname{Re}\{s\} >\sigma_0$，其中 ${\sigma }_0<0$$\sigma_0<0$

包含 $j\omega$$j\omega$ 轴，且为右边信号。

13

$X(j\omega )=2{\displaystyle \cos (4\omega +\frac{\pi }{3})}$$X(j\omega)=2\displaystyle \cos \left(4\omega+\frac{\pi}{3}\right)$ 的反傅里叶变换为?

反傅里叶变换为：

14

$x(n)\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}X(z)$$x(n) \overset{\mathcal Z}{\operatorname*{\longleftrightarrow}} X(z)$，$y(n)\stackrel{\mathcal{Z}}{⟷}Y(z)$$y(n)\overset{\mathcal Z}{\operatorname*{\longleftrightarrow}} Y(z)$，则 ${\displaystyle \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k)y(k-n)}$$\displaystyle \sum_{k=-\infin}^{+\infin} x(k)y(k-n)$ 的 Z 变换为？

15

已知 $\begin{array}{c}{\displaystyle x[n]=\{\begin{array}{ll}{a}^n,& 0\le n\le N-1\\ 0,& \mathrm{otherwise}\end{array}}\end{array}$$\displaystyle x[n]=\begin{cases}a^n ,&0\le n \le N-1\\0, &\mathrm{otherwise}\end{cases}$，其中 $a>0$$a>0$，则 $X(z)$$X(z)$ 的收敛域包括（）

• $|z|>a$$|z|>a$

• 全部 $z$$z$.

• 除 $z=0$$z=0$ 外的全部 $z$$z$

• 除 $z=a$$z=a$ 外的全部 $z$$z$

16

一般地，连续时间因果LTI系统的框图表示中不使用（微分器）

可能会使得函数不再连续。

17

首先，先时域平移 $T/2$$T/2$，然后再取反。

然后相加：

18

已知系统输入 $x(\cdot )$$x(\cdot)$ 和输出 $y(\cdot )$$y(\cdot)$。下面叙述正确的是：

A. $\begin{array}{c}{\displaystyle y(t)=\{\begin{array}{ll}0,& x(t)<0\\ x(t)+x(t-2),& x(t)\ge 0\end{array}}\end{array}$$\displaystyle y(t)=\begin{cases}0,&x(t)<0\\x(t)+x(t-2),&x(t)\ge 0\end{cases}$ 描述的是线性时不变系统。

错误，不是线性的。

B. $y(t)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{2t}x(\tau )\mathrm{d}\tau }$$y(t)=\displaystyle \int_{-\infin}^{2t} x(\tau)\mathrm d \tau$ 描述的是非因果和时不变系统。

因果性的理解：$y(t)$$y(t)$ 不会用到 $x(t)$$x(t)$ 在 $t$$t$ 之前的信息，因此系统不是因果的。

时不变系统：

不是时不变系统。

C. $y[n]=x[n]-x[1-n]$$y[n]=x[n]-x[1-n]$ 描述的是时变和非因果系统。

因此描述的是时变系统。

$y[-1]$$y[-1]$ 用到了 $x[-1]$$x[-1]$ 和 $x[2]$$x[2]$ 的信息，因此不是因果系统。

D. $y(t)=2x(t)-1$$y(t)=2x(t)-1$ 描述的是线性稳定系统。

不是线性的，因为：

是稳定系统。

19

序列 $x[n]$$x[n]$ 的 DTFT 存在，且已知 $x[n]$$x[n]$ 的 z 变换表达式为 ${\displaystyle X(z)=\frac{-2.5z}{z^2-1.5z-1}}$$\displaystyle X(z)=\frac{-2.5z}{z^2-1.5z-1}$，则下列 $x[n]$$x[n]$ 的表达式正确的是（）

• $x[n]=(-0.5{)}^{n}u[n]+2^{n}u[n]$$x[n]=(-0.5)^n u[n]+2^n u[n]$;

• $x[n]=(-0.5{)}^{n}u[-n-1]-2^{n}u[-n-1]$$x[n]=(-0.5)^n u[-n-1]-2^n u[-n-1]$.

• $x[n]=(-0.5{)}^{n}u[-n-1]+2^{n}u[n]$$x[n]=(-0.5)^n u[-n-1]+2^n u[n]$.

• $x[n]=(-0.5{)}^{n}u[n]-2^{n}u[-n-1]$$x[n]=(-0.5)^n u[n]-2^{n} u[-n-1]$.

既可以从 DTFT 存在 $\Rightarrow$$\Rightarrow$ 系统稳定，${\displaystyle \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]<\mathrm{\infty }}$$\displaystyle \sum_{n=-\infin}^{\infin} x[n]<\infin$ 考虑；

也可以从 DTFT 存在 $\Rightarrow$$\Rightarrow$ ROC 包含单位圆，为 $0.5<|r|<2$$0.5<|r|<2$.

20

某周期方波信号在一个基波周期 $T$$T$ 内可以表示为 $\begin{array}{c}{\displaystyle x(t)=\{\begin{array}{ll}1,& |t|<\tau \\ 0,& \tau <|t|<T/2\end{array}}\end{array}$$\displaystyle x(t)=\begin{cases}1,&|t|<\tau\\0,&\tau<|t|<T/2\end{cases}$，下列叙述中错误的是：

• 傅里叶级数的系数具有 $Sa(n\pi \tau /T)$$Sa(n\pi\tau/T)$ 的包络形状；

• 随着周期 $T$$T$ 的增加，两个相邻傅里叶级数的间隔变近了；

• 随着占空比 $\tau$$\tau$ 的增加，傅里叶级数系数的第一个过零点更加远离原点。（可以看做原函数拉伸，则傅里叶级数收缩，靠近原点）

• 随着 $n$$n$ 的增加，傅里叶级数的系数逐渐趋于 0。

大题

21

求如下两个信号的卷积积分：

令

则：

当 $t<1$$t<1$，$f(t)=0$$f(t)=0$.

当 $1\le t<2$$1\le t<2$，

当 $2\le t<3$$2\le t <3$，

当 $t\ge 3$$t\ge 3$，$f(t)=0$$f(t)=0$.

22

某稳定的连续时间LTI系统的频率响应为 ${\displaystyle H(j\omega )=\frac{1-e^{-(j\omega +1)}}{j\omega +1}}$$\displaystyle H(j\omega)=\frac{1-e^{-(j\omega+1)}}{j\omega+1}$，求其单位阶跃响应 $s(t)$$s(t)$.

注意到：

23

一周期实信号 $f(t)$$f(t)$ 只含有基波分量和 3 次谐波分量，且有 $|{\mathit{F}}_1|=2,|{\mathit{F}}_3|=1,{\varphi }_1=-\pi /2,{\varphi }_3=\pi /2$$|\boldsymbol F_1|=2,|\boldsymbol F_3|=1,\phi_1=-\pi/2,\phi_3=\pi/2$.

1. 画出该信号的指数形式的幅度频谱和相位频谱；

2. 写出三角形式的傅里叶级数。

   $$f(t)=2|{\mathit{F}}_1|\cos ({\omega }_{0}t-\pi /2)+2|{\mathit{F}}_3|\cos (3{\omega }_{0}t+\pi /2)$$

3. 判断信号的对称性；

   为奇信号，反对称。

4. 求信号的平均功率。

   由 Parseval's relation，可得：

   $$\underset{\text{average power}}{\underbrace{\frac{1}{T}{\int }_T{|x(t)|}^{2}dt}}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{\text{kth harmonic average}}{\underbrace{{\left|a_k\right|}^2}}=2(4+1)=10$$

24

LSI离散时间系统的系统函数为：${\displaystyle H(z)=\frac{z^2-3z}{z^2-3z+2}}$$\displaystyle H(z)=\frac{z^2-3z}{z^2-3z+2}$.

1. 画出 $H(z)$$H(z)$ 的零极点图，写出相应系统的差分方程。

   

   $$H(z)=\frac{1-3z^{-1}}{1-3z^{-1}+2z^{-2}}$$
   $$(1-3z^{-1})X(z)=(1-3z^{-1}+2z^{-2})Y(z)$$
   $$x[n]-3x[n-1]=y[n]-3y[n-1]+2y[n-2]$$

2. 求系统所有可能的单位样值响应 $h(n)$$h(n)$，分别指出系统是否稳定，是否因果，为什么？

   $$\frac{H(z)}{z}=\frac{z-3}{z^2-3z+2}=\frac{A}{z-2}+\frac{B}{z-1}$$
   $$\begin{array}{c}A=(z-2)\frac{H(z)}{z}{|}_{z=2}=-1\\ B=(z-1)\frac{H(z)}{z}{|}_{z=1}=2\end{array}$$
   $$H(z)=\frac{-z}{z-2}+\frac{2z}{z-1}$$

   • ROC: $0<|z|<1$$0<|z|<1$，

     $$h(n)=2^{n}u(-n-1)-2u(-n-1)$$

     不稳定，不是因果。

   • ROC: $1<|z|<2$$1<|z|<2$，

     $$h(n)=2^{n}u(-n-1)+2u(n)$$

     不稳定，不是因果。

   • ROC: $|z|>2$$|z|>2$，

     $$h(n)=-2^{n}u(n)+2u(n)$$

     不稳定，是因果。

3. 已知激励 $x(n)=(-1{)}^n\epsilon (n)$$x(n)=(-1)^n \varepsilon(n)$ 时，全响应 ${\displaystyle y[n]=[2+\frac{4}{3}{2}^n+\frac{2}{3}(-1{)}^n]\epsilon (n)}$$\displaystyle y[n]=\left[2+\frac{4}{3}2^n +\frac{2}{3}(-1)^n\right]\varepsilon (n)$，求系统的起始状态 $y(-1),y(-2)$$y(-1),y(-2)$.

   直接通过递推式求解：

   $$x[n]-3x[n-1]=y[n]-3y[n-1]+2y[n-2]$$
   $$\begin{array}{c}x[0]-3x[-1]=y[0]-3y[-1]+2y[-2]\\ \Rightarrow 6-3y[-1]+2y[-2]=1\end{array}$$
   $$\begin{array}{c}x[1]-3x[0]=y[1]-3y[0]+2y[-1]\\ \Rightarrow 2y[-1]-8=-4\end{array}$$
   $$y[-1]=2,y[-2]=\frac{1}{2}$$

25

如图2(a)所示通信子系统，若输入信号 $x(t)$$x(t)$ 的频谱如图2(b)所示，试求该子系统的输入 $s(t)$$s(t)$ 及其频谱 $S(\omega )$$S(\omega)$.

输出 $4\le \omega \le 6$$4\le \omega\le 6$ 的带通滤波器。

26

某二阶LTI因果稳定系统，其系统函数 $H(s)$$H(s)$ 为有理函数，$h(t)$$h(t)$ 为系统的单位冲激响应。以下四点是关于系统的信息：1.当系统的输入为 $e(t)=\epsilon (t)$$e(t)=\varepsilon(t)$ 时，其稳态响应为 $-1/3$$-1/3$. 2.当系统的输入为 $e(t)=e^t\epsilon (t)$$e(t)=e^t \varepsilon(t)$ 时，其输入 $r(t)$$r(t)$ 绝对可积 3.设 ${\displaystyle f(t)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}h(t)}{\mathrm{d}{t}^2}+5\frac{\mathrm{d}h(t)}{\mathrm{d}t}+6h(t)}$$\displaystyle f(t)=\frac{\mathrm d ^2 h(t)}{\mathrm d t^2}+5\frac{\mathrm d h(t)}{\mathrm d t}+6h(t)$，其拉氏变换 $F(s)$$F(s)$ 的收敛域为 $-\mathrm{\infty }<\mathrm{Re}\{s\}<+\mathrm{\infty }$$-\infin<\operatorname{Re}\{s\} <+\infin$. 4.$H(s)$$H(s)$ 有且仅有一个零点。

试求：

1. 系统函数 $H(s)$$H(s)$ 并确定其收敛域；

   $$F(s)=s^{2}H(s)+5sH(s)+6H(s)=(s+2)(s+3)H(s)$$

   而且因为 $H(s)$$H(s)$ 有且仅有一个零点，可以设：

   $$H(s)=A\frac{s-s_0}{(s+2)(s+3)}$$

   当输入 $e(t)=e^t\epsilon (t)\stackrel{\mathcal{L}}{⟷}\frac{1}{s-1}$$e(t)=e^{t}\varepsilon(t) \overset{\mathcal L}{\operatorname*{\longleftrightarrow}} \frac{1}{s-1}$，输出绝对可积

   $$R(s)=A\frac{s-s_0}{(s+2)(s+3)(s-1)}$$

   因为系统是稳定系统+因果系统(因果卷积因果)，所以零点必须位于左半平面，因此 $s_0=1$$s_0=1$.

   当输入 $e(t)=\epsilon (t)\stackrel{\mathcal{L}}{⟷}\frac{1}{s}$$e(t)=\varepsilon(t) \overset{\mathcal L}{\operatorname*{\longleftrightarrow}} \frac{1}{s}$，输出为：

   $$V(s)=A\frac{s-1}{s(s+2)(s+3)}$$

   根据 Final-value theorem，

   1. 函数是两个因果函数的卷积，因此也是因果。

   2. 函数的稳态响应存在。

   因此：

   $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}v(t)=\underset{s\to 0}{lim}sV(s)$$
   $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}v(t)=A\underset{s\to 0}{lim}\frac{s-1}{(s+2)(s+3)}=-\frac{A}{6}$$
   $$A=2$$

   综上：

   $$H(s)=2\frac{s-1}{(s+2)(s+3)}$$

   因为系统稳定，所以 $0$$0$ 在收敛域中，收敛域为 $-2<\mathrm{Re}\{s\}$$-2<\operatorname{Re}\{s\}$.

2. 画出直接形式的系统框图。