运动学

基本概念

参考系

用来描述物体运动而选作参考的物体、或相对静止的物体系。运动的相对性决定描述物体运动必须选取参考系。

太阳参考系
地心参考系
地面参考系
质心参考系

坐标系

坐标系为参考系的数学抽象。由固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度表示。坐标系可任选，以描述方便为原则。

$(x,y,z)$
$(r,\theta,\varphi)$
$(\rho,\theta,z)$
自然坐标系

质点位置、速度、加速度的描述

质点：物体的大小、形状可以忽略；运动过程中，物体的各部分运动相同。

平均速度：

\overset{―}{v} = \frac{Δ r}{Δ t}

瞬时速度：

v = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ r}{Δ t} = \frac{d r}{d t}

$\lim_{\Delta t \to 0} \Delta s=\lim_{\Delta t \to 0} |\Delta \boldsymbol{r}|$ 。

直角坐标系

位矢

r = x i + y j + z k

$x,y,z$ 满足的方程。

速度

\begin{matrix} \vec{v} = \frac{d \vec{r}}{d t} = \frac{d x}{d t} \vec{i} + \frac{d y}{d t} \vec{j} + \frac{d z}{d t} \vec{k} \\ \vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j} + v_{z} \vec{k} \\ \Rightarrow v_{x} = \frac{d x}{d t}, etc. \int_{t_{A}}^{t_{B}} v_{x} d t = \int_{t_{A}}^{t_{B}} \frac{d x}{d t} d t = \int_{x_{A}}^{x_{B}} d x \\ = x_{B} - x_{A} \end{matrix}

$\quad v=|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

代表对每个分量进行分析。

加速度

加速度的表达形式：

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} r}{d t^{2}}

转换技巧（如果只考虑一维）：

a = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = \frac{d v}{d x} v = \frac{d (\frac{1}{2} v^{2})}{d x}

$\boldsymbol a$ $\boldsymbol x$ $\boldsymbol v$ 的方程。例如：

$10 \mathrm{~m}$ $a=-k v^2$ $k=0.4 \mathrm{~m}^{-1}$ $10 \%$ 时的入水深度.

$x$ $a=-k v^2=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x}$ $x=\frac{1}{k} \ln \frac{v_0}{v}$ $v=0.1 v_0$ $x=\frac{1}{k} \ln 10=5.76 \mathrm{~m}$ .

分离变量的做法：

a_{x} d x = v_{x} d v_{x}

积分得到

a_{x} (x) = v_{x} (x) = \frac{d x}{d t}

继续积分，得到

\int d t = \int \frac{d x}{v_{x} (x)}

$t$ $x$ 的关系。

\begin{aligned} \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{d t} & = \frac{d v_{x}}{d t} \vec{i} + \frac{d v_{y}}{d t} \vec{j} + \frac{d v_{z}}{d t} \vec{k} \\ = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \vec{i} + \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \vec{j} + \frac{d^{2} z}{d t^{2}} \vec{k} \\ = a_{x} \vec{i} + a_{y} \vec{j} + a_{z} \vec{k} \\ \Rightarrow a_{x} & = \frac{d v_{x}}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}, etc. \end{aligned}

**自然坐标系

速度

$\boldsymbol \tau$ $\boldsymbol n$ 。切向指向某点的运动方向。

v = v_{τ} = v \cdot e_{τ}

加速度

a = a_{n} + a_{τ}

其中

a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ} ρ = \frac{(1 + y^{' 2})^{3 / 2}}{| y^{″} |}

a_{τ} = \frac{d v}{d t}

推导：

a = \frac{d (e_{t} v)}{d t} = \frac{d v}{d t} e_{t} + \frac{d e_{t}}{d t} v = \frac{d v}{d t} e_{t} + v \frac{d θ}{d t} e_{n}

$\frac{\mathrm d \boldsymbol e_t}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t}\boldsymbol e_n$ 。

$\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t}$ 是什么，因此需要进一步推导：

\frac{d θ}{d t} = \frac{d θ}{d s} \frac{d s}{d t}

后面一项为速度，前一项只与曲线的形状有关。

定义曲率：

k = \frac{d θ}{d s} = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ θ}{Δ s}

定义 曲率半径：

ρ = \frac{1}{k}

$\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d s}\frac{\mathrm d s}{\mathrm d t}=\frac{v}{\rho}$ ，

a = \frac{d v}{d t} e_{t} + v \frac{d θ}{d t} e_{n} = \frac{d v}{d t} e_{t} + \frac{v^{2}}{ρ} e_{n}

其中，

a_{t} = \frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} s}{d t^{2}}

反应速度大小的变化，朝向切向。

a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ}

反应速度方向的变化。

圆周运动（自然坐标系）

$\rho=R$ ，得到，

a = R β e_{t} + R ω^{2} e_{n}

a_{t} = \frac{d v}{d t} = \frac{d (R ω)}{d t} = R β

a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ} = R ω^{2}

角速度、角加速度。

$\boldsymbol a_t = 0$ $0$ $\boldsymbol a_n$ $\beta=0$ 。

**极坐标系

位置

$\boldsymbol{e}_r$ $\boldsymbol{r}$ ）

$\boldsymbol{e}_\theta$ $\boldsymbol{r}$ 垂直）

位置矢量的表示：

\begin{matrix} r = r e_{r} \\ r = r (t) = r (t) e_{r} (t) \end{matrix}

两个量都随着时间变化（两个自由度）

速度

v = \frac{d (e_{r} r)}{d t} = \frac{d r}{d t} e_{r} + r \frac{d θ}{d t} e_{θ}

径向速度：

v_{r} = \frac{d r}{d t}

横向速度：

v_{θ} = r \frac{d θ}{d t} = r ω

加速度

$\boldsymbol e_r$ $\boldsymbol e_\theta$ 横向方向。

回顾：

v = \frac{d r}{d t} e_{r} + r \frac{d θ}{d t} e_{θ}

第一项求导：

\frac{d^{2} r}{d t^{2}} e_{r} + \frac{d r}{d t} \frac{d e_{r}}{d t}

$\frac{\mathrm d \boldsymbol e_r}{\mathrm d t}$ 代表径向方向的变化，得到：

\frac{d e_{r}}{d t} = \frac{d θ}{d t} e_{θ}

第二项求导：

\frac{d r}{d t} \frac{d θ}{d t} e_{θ} + r \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} e_{θ} + r \frac{d θ}{d t} \frac{d e_{θ}}{d t}

$\frac{\mathrm d \boldsymbol e_\theta}{\mathrm d t}$ 代表横向方向的变化，得到：

\frac{d e_{θ}}{d t} = - \frac{d θ}{d t} e_{r}

而方向相反，因为是指向中心的。

因此：

a_{r} = \frac{d^{2} r}{d t^{2}} - r {(\frac{d θ}{d t})}^{2} = \ddot{r} - r ω^{2}

a_{θ} = r \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + 2 \frac{d r}{d t} \frac{d θ}{d t} = r \ddot{θ} + 2 \dot{r} ω

运动方程与轨道

r = r (t) r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

分量形式：

\begin{matrix} {\begin{array}{r} x = x (t) \\ y = y (t) \\ z = z (t) \end{array} \end{matrix}

消掉时间参量，如

\begin{matrix} {\begin{array}{r} x = r \cos ω t \\ y = r \sin ω t \end{array} \end{matrix}

得到

x^{2} + y^{2} = r^{2}

得到了运动的轨道（方程）

位移

\begin{matrix} Δ r = r_{B} - r_{A} \\ Δ r = Δ x i + Δ y j + Δ z k \end{matrix}

位移具有 矢量叠加性质。

$\Delta s$ 不同。

位移为矢量，路程为标量
$\Delta s \not=|\Delta \boldsymbol{r}|$ $\Delta t \to 0$ 时。

\begin{matrix} \int_{\hat{A B}} d s = \int_{\hat{A B}} | d \vec{r} | \\ \int_{\hat{A B}} d \vec{r} = {\vec{r}}_{B} - {\vec{r}}_{A} = Δ \vec{r} \\ \int_{\hat{A B}} d r = \int_{\hat{A B}} d | \vec{r} | = | r_{B} | - | r_{A} | = Δ r \end{matrix}

$\Delta s \not=|\Delta \boldsymbol{r}|$ $\Delta t \to 0$ 时。
矢量首尾相连。
$\Delta r=|\boldsymbol{r}_B|-|\boldsymbol{r}_A|$

$(1)$ 式，我们分别计算位移朝向相同的部分，以速度为 0 的点为分段点，取绝对值加起来即为路程。例如：

$x$ $t$ $x=4.5 t^2-2 t^3$ . 试求: (1) 第 2 秒内的平均速度; (2) 第 2 秒末的瞬时速度; $\bar{v}=\frac{x_{(t=2)}-x_{(t=1)}}{\Delta t}=\frac{2-2.5}{1}=-0.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ $v=\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=2}=\left.\left(9 t-6 t^2\right)\right|_{t=2}=-6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ $9 t-6 t^2=0$ $t_1=0 \mathrm{~s}, t_2=1.5 \mathrm{~s}$ $1.5 \mathrm{~s}$ $s=\left|x_{(t=1.5)}-x_{(t=1)}\right|+\left|x_{(t=1.5)}-x_{(t=2)}\right|=\left|\frac{27}{8}-\frac{5}{2}\right|+\left|\frac{27}{8}-2\right|=2.25 \mathrm{~m}$ .

相对运动

是对位置矢量描述的相对性。

r = r^{'} + R

$\boldsymbol R$ $S$ $S'$ $S'$ $S$ 坐标系中的位置矢量。是空间测量的绝对性。

$S$ $S'$ $S'$ $t'$ $\Delta t=\Delta t'$

\begin{matrix} d t = Δ t_{Δ t \to 0} \\ \frac{d r}{d t} = \frac{d R}{d t} + \frac{d r^{'}}{d t} = \frac{d R}{d t} + \frac{d r^{'}}{d t^{'}} \\ v = v^{'} + u \\ a = a^{'} + \frac{d u}{d t} \end{matrix}

$\boldsymbol u$ $\mathrm d \boldsymbol u/\mathrm d t$ 牵连加速度。绝对=相对+牵连。

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = x^{'} + u t \\ y = y^{'} \\ z = z^{'} \\ t = t^{'} \end{matrix} \end{matrix}

参考系的转动

综合例题

描述质点运动的物理量有位矢、位移、速度和加速度等，而质点在某时刻的运动状态主要由位置和速度所确定，因此通常所说质点运动状态指的是它的位矢和速度确定的状况。

常见的解题方法

套公式、求导。明确每个物理量的含义。
用相对牵连关系或者运动的合成分解。

加速度、速度的求法

根据数学表达式进行计算。
进行分解。

r = r_{0} + \int_{t_{0}}^{t} v d t

v = v_{0} + \int_{t_{0}}^{t} a d t

初值问题。

路程的求法

本质上是高数的曲线求和。

\begin{matrix} \int_{s_{0}}^{s} d s = \int_{s_{0}}^{s} \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \\ = \int_{s_{0}}^{s} \sqrt{1 + {(\frac{d x}{d y})}^{2}} d y \end{matrix}

速度：

几何关系：

l^{2} = h^{2} + s^{2}

对时间进行求导，得

2 \frac{d l}{d t} l = 2 \frac{d s}{d t} s

$v=-\mathrm d s/\mathrm d t,v_0=-\mathrm d l/\mathrm d t$ ，可以发现

v_{0} l = v s, v = \frac{l}{s} v_{0}

$v$ $v \cos \theta=v_0,v=\frac{v_0}{\cos \theta}$ 。

加速度：

可以使用第一个表达式：

\begin{matrix} a = \frac{d v}{d t} = v_{0} (\frac{s d l - l d s}{s^{2} d t}) = v_{0} (- \frac{1}{s} v_{0} + \frac{l}{s^{2}} v) \\ = v_{0} (- \frac{1}{s} v_{0} + \frac{l^{2}}{s^{3}} v_{0}) = v_{0}^{2} \frac{h^{2}}{s^{3}} \end{matrix}

也可以使用带角度的表达式：

\begin{aligned} a & = v_{0} \frac{d \frac{1}{\cos θ}}{d t} \\ = v_{0} \frac{- 1}{\cos^{2} θ} (- \sin θ) \frac{d θ}{d t} \end{aligned}

$v \sin \theta$ $l$ $\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t}$ $v\sin\theta/l$ 计算，因此：

a = \frac{v_{0}^{2} h^{2}}{s^{3}}

用相对运动的观点。

v = v_{r} + v_{θ}

得到

v \cos θ = v_{r} \Rightarrow v = \frac{v_{r}}{\cos θ} = \frac{v_{0}}{\cos θ} = \frac{l v_{0}}{s}

a = a_{r} + a_{θ}

a_{r} = \ddot{r} - r ω^{2} = 0 - r {(\frac{v_{θ}}{l})}^{2} = \frac{h^{2}}{s^{2} l}

a \cos θ = a_{r} \Rightarrow a = \frac{a_{r}}{\cos θ} = \frac{v_{0}^{2} h^{2}}{s^{3}}

$(x,y)$ $\boldsymbol v=v_x \boldsymbol i+v_y \boldsymbol j$ $\boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y \boldsymbol j$ 。

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}

$\boldsymbol a_t$ $a_x \boldsymbol i$ $a_y\boldsymbol j$ 在其方向上的投影之和。

| a_{t} | = a_{x} \frac{v_{x}}{v} + a_{y} \frac{v_{y}}{v}

$a^2=a_t^2+a_n^2=a_x^2+a_y^2$ （选取的坐标系不同）

得到

| a_{n} | = | \frac{a_{x} v_{y} - a_{y} v_{x}}{v} |

事实上：

[\begin{matrix} a_{t} \\ a_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \end{matrix}]

$\theta$ $x$ $t$ $-\theta$ 角度，改变坐标系。

已知运动方程

\begin{matrix} {\begin{matrix} x = 2 t \\ y = 6 - 2 t^{2} \end{matrix} \end{matrix}

$\boldsymbol a_n,\boldsymbol a_t$ 。

利用好

\begin{matrix} {\begin{matrix} a_{t} = \frac{d v}{d t} \\ a_{n} = \frac{v^{2}}{ρ} \\ a_{t}^{2} + a_{n}^{2} = a^{2} \end{matrix} \end{matrix}

v = \frac{d r}{d t} = 2 i - 4 t j

得到

v = | v | = 2 \sqrt{1 + 4 t^{2}}

得到

| a_{t} | = \frac{8 t}{\sqrt{1 + 4 t^{2}}}

$\rho$ ，我们采用第三个公式。

a = \frac{d v}{d t} = - 4 j

推出

| a_{n} | = \frac{4}{\sqrt{1 + 4 t^{2}}}

$T=6\, \mathrm s,R=3\,\mathrm m$ $t=0$ $O$ $t=2s$ 时？

ω = \frac{2 π}{T} = \frac{π}{3}

r = (0, 3) + 3 (\sin ω t, - \cos ω t)

\frac{d r}{d t} |_{t = 2 s} = \underset{v}{\underset{⏟}{3 ω (\cos ω t, \sin ω t)}} = (- \frac{π}{2}, \frac{\sqrt{3} π}{2})

\frac{d v}{d t} = 3 ω^{2} (- \sin ω t, \cos ω t)

\frac{d v}{d t} = 0

匀速圆周运动。

\int_{A}^{B} d r = r_{B} - r_{A}

\int_{A}^{B} d | r | = | r_{B} | - | r_{A} |

\int_{A}^{B} | d r | = s_{A B}

$R$ $AB$ $O'$ $AB$ $O$ $R/2$ $P$ 的速率、切向加速度分量和法向加速度分量。

$P$ 是一个几何点而不是质点，轨迹在圆周上运动。

$R/2$ 时

v_{P_{y}} = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 g \frac{R}{2}} = \sqrt{g R}

$P$ $v_{P_y}$ ，因此。

v_{p} \cos θ = v_{P_{y}}

得到

v_{p} = \frac{v_{P_{y}}}{\cos θ} = 2 \sqrt{g R / 3}

法向加速度使用切向速度和半径计算：

a_{n} = \frac{v_{P}^{2}}{R} = \frac{4 g}{3}

$\boldsymbol a_t$ ，我们既可以运用两者模长平方的关系，也可以利用某个分量上的关系。

$\boldsymbol a_y=-g$ $\boldsymbol a_x$ $\boldsymbol a_t$ 。

a_{n} \sin θ + a_{t} \cos θ = g

得到

a_{t} = \frac{g - a_{n} \sin θ}{\cos θ} = \frac{2 \sqrt{3}}{9} g


xxxxxxxxxx
3
1
from sympy import *
2
from sympy.matrices import zeros 
3
import sympy


xxxxxxxxxx
2
1
g,t,R = sympy.symbols('g t R')
2
v_p_y = g*t


xxxxxxxxxx
2
1
theta = asin((R-1/2 * g * t**2)/R)
2
theta

$\displaystyle \operatorname{asin}{\left(\frac{R - 0.5 g t^{2}}{R} \right)}$


xxxxxxxxxx
2
1
v_p = v_p_y/cos(theta)
2
simplify(v_p)

$\displaystyle \frac{g t}{\sqrt{1 - \frac{\left(R - 0.5 g t^{2}\right)^{2}}{R^{2}}}}$


xxxxxxxxxx
2
1
a_n=v_p**2/R
2
simplify(a_n)

$\displaystyle \frac{1.0 R g}{1.0 R - 0.25 g t^{2}}$


xxxxxxxxxx
2
1
a_t=(g-a_n*sin(theta))/cos(theta)
2
simplify(a_t)

$\displaystyle \frac{0.25 g^{2} t^{2}}{\sqrt{\frac{g t^{2} \cdot \left(1.0 R - 0.25 g t^{2}\right)}{R^{2}}} \cdot \left(1.0 R - 0.25 g t^{2}\right)}$

$v_0$ $\theta_0$ $t$ $ρ$ 。


xxxxxxxxxx
1
1
g,t,R,theta_0,v_0 = sympy.symbols('g t R theta_0 v_0')


xxxxxxxxxx
2
1
v_x=v_0*cos(theta_0)
2
v_y=v_0*sin(theta_0)-g*t


xxxxxxxxxx
2
1
v=sqrt(v_x**2+v_y**2)
2
v.simplify()

$\displaystyle \sqrt{g^{2} t^{2} - 2 g t v_{0} \sin{\left(\theta_{0} \right)} + v_{0}^{2}}$


xxxxxxxxxx
1
1
theta=acos(v_x/v)


xxxxxxxxxx
2
1
a_n=g*cos(theta)
2
a_n.simplify()

$\displaystyle \frac{g v_{0} \cos{\left(\theta_{0} \right)}}{\sqrt{g^{2} t^{2} - 2 g t v_{0} \sin{\left(\theta_{0} \right)} + v_{0}^{2}}}$


xxxxxxxxxx
2
1
a_t=-g*sin(theta)
2
a_t.simplify()

$\displaystyle - g \sqrt{\frac{\left(g t - v_{0} \sin{\left(\theta_{0} \right)}\right)^{2}}{g^{2} t^{2} - 2 g t v_{0} \sin{\left(\theta_{0} \right)} + v_{0}^{2}}}$


xxxxxxxxxx
2
1
rho=v**2/a_n
2
rho.simplify()

$\displaystyle \frac{\left(g^{2} t^{2} - 2 g t v_{0} \sin{\left(\theta_{0} \right)} + v_{0}^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{g v_{0} \cos{\left(\theta_{0} \right)}}$

$\boldsymbol v_0=100\boldsymbol i~(\mathrm{m\cdot s^{-1}})$ $\boldsymbol a=-10 v\boldsymbol i~(\mathrm{m\cdot s^{-1}})$ 。问：质点在停止运动之前运动的路程有多长？

$v$ $t$ 的关系，积分得到运动路程。

$v$ $s$ 的关系，直接得到路程：

a = \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d s} \cdot \frac{d s}{d t} = - 10 v \Rightarrow \int_{0}^{s} d s = - \frac{1}{10} \int_{100}^{0} d v