牛顿运动定律

牛顿运动三定律

牛顿第一定律（惯性定律）

任何物体如果没有力的作用，都将保持静止或者匀速直线运动的状态。

惯性参考系的概念。
定义了惯性和力。

牛顿第二定律

牛顿第二定律实验表明: 力满足矢量的平行四边形叠加定则。即质点所受的合力为所有作用在质点上的力的矢量和:

\vec{F} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}

$\vec{a}$ $\displaystyle \vec{a} \propto \frac{\sum_i \vec{F}_i}{m}$

\begin{aligned} F & = F_{x} i + F_{y} j + F_{z} k \\ = m (a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k) \end{aligned}

在自然坐标系中：

\begin{aligned} F & = F_{t} e_{t} + F_{n} e_{n} \\ = m \frac{d v}{d t} e_{t} + m \frac{v^{2}}{ρ} e_{n} \end{aligned}

切向、法向牛顿第二定律

\begin{matrix} {\begin{matrix} F_{t} = m \frac{d v}{d t} \\ F_{n} = m \frac{v^{2}}{ρ} \end{matrix} \end{matrix}

牛顿第三定律

定义了相互作用的性质。

力的传递速度是有限的。适用于实物的相互作用问题，不适用于 场传递 的相互作用。

牛顿运动定律的适用范围

惯性系、低速、宏观、实物。

常见的力

引力

F_{g} = G \frac{m_{G} M}{R^{2}}

F = m_{I} a

反应了两种完全不同的属性。惯性质量和引力质量有等同性。

对于自由下落的物体，

G \frac{m_{G} M}{R^{2}} = m_{I} g

\frac{m_{I}}{m_{G}} = \frac{G M}{g R^{2}}

$k_1m_0$ $k_2m_0$ 。

$G$ $m_I=m_G$ 。广义相对论的等效原理。General Relativity, Special Relativity.

质点在球对称物体外面，则它受到的力等价于物体质量球心处时的吸引力。（三重积分）
$\Delta \Omega$ $\Delta S_1 = \Delta \Omega \cdot r_1^2$ $\Delta S_2 = \Delta \Omega \cdot r_2^2$ $\sigma$ $\Delta F_1=G \frac{\sigma\Delta \Omega \cdot r_1^2 m_0}{r_1^2}$ $\Delta F_1=\Delta F_2$ ，互相抵消。

高斯定律：

F_{e} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} \Rightarrow ∯ E \cdot d S = \frac{q}{ε_{0}}

万有引力定律：

F_{g} = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \Rightarrow ∯ F \cdot d S = \frac{m}{λ_{0}}

重力

在地球表面物体所受力是引力和离心力的结合。

\begin{matrix} p = m g = F_{e} + F_{I} \\ F_{e} = G \frac{m M}{R^{2}} \\ F_{I} = m ω^{2} r r = R \cos φ \end{matrix}

\begin{matrix} p^{2} = F_{e}^{2} + F_{I}^{2} - 2 \cos φ F_{e} F_{I} \\ | p | = (F_{e}^{2} + F_{I}^{2} - 2 \cos φ F_{e} F_{I})^{\frac{1}{2}} \approx F_{e} (1 + Δ - 2 \cos φ \frac{F_{I}}{F_{e}})^{\frac{1}{2}} \approx F_{e} (1 - \frac{F_{I}}{F_{e}} \cos φ) \end{matrix}

弹性力

F = - k x i

$k$ $x \boldsymbol i$ 物体的位移。

弹性力起源于电磁力。

金属丝的应力和应变关系。

摩擦力

阻止两个相接触物体之间相对运动趋势的力。摩擦力

f_{s \max} = μ_{s} N

最大静摩擦力。

f_{k} = μ_{k} N

滑动摩擦系数与物体相对运动速度有关，低速下基本为常数。跟物体表面光滑和粗糙程度有关系。

流体阻力

f = α v + β v^{2} + γ v^{3} + \dots

α ≫ β ≫ γ

$\boldsymbol f = -b \boldsymbol v$ 。

$\boldsymbol f=-c \boldsymbol v^2$ $c$ 与流体及物体的性质有关。湍流。

$\boldsymbol f$ $v^3$ 。

力学相对性原理

非惯性参考系

牛顿定律只能在特殊的参考系-惯性系中成立。

常用近似惯性系：地面参考系，地心参考系，太阳参考系。

$S'$ $S$ $\boldsymbol u$ 。

\begin{matrix} v = v^{'} + u \\ a = a^{'} + \frac{d u}{d t} \end{matrix}

在牛顿力学中，相互作用力与参考系无关。质量在不同参考系中测量是相同的。

$\boldsymbol a=\boldsymbol a'$ ，这样牛顿定律成立。

一切惯性系在力学意义上是等价的，平权的。

惯性力：

\begin{matrix} F_{I} = - m a_{0} \\ F + F_{I} = m a^{'} \end{matrix}

平动惯性力。

匀速转动参考系

$S$ $T=ma,a=r \omega^2$ ，或者

\begin{matrix} {\begin{matrix} T = m \frac{v^{2}}{r} = m ω^{2} r \\ 0 = m \frac{d v}{d t} \end{matrix} \end{matrix}

$T$ 提供小球的向心力。

$S'$ 中需要引入

F_{i} = - m a_{0} = m R ω^{2}

$\boldsymbol F_i$ 被称为离心惯性力。

F_{i} = m r ω^{2} e_{r}

在地面参考系上，地面上的物体受惯性离心力。

Coriolis 力

让弹簧断开，使小球拥有速度。

$S$ （惯性系）中，需要有离心惯性力

F_{i} = - m ω \times (ω \times r)

Coriolis 力：

f_{c} = - 2 m ω \times v^{'}

推导：

v = ω \times r + v^{'}

$\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r$ $\mathrm d\boldsymbol v'/\mathrm d t=\boldsymbol a'+\boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'$ 。

\begin{aligned} \frac{d v}{d t} & = a^{'} + ω \times v^{'} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\frac{d ω}{d t}}} \times r + ω \times \frac{d r}{d t} \\ = a^{'} + ω \times v^{'} + ω \times (ω \times r + v^{'}) \end{aligned} \Rightarrow a^{'} = a - 2 ω \times v^{'} - ω \times (ω \times r)

$\boldsymbol F_i$ $\boldsymbol f_c$ 。需要达到几百米的速度。

地球参考系中：

重力
贸易风的偏向
轨道磨损
河床冲刷
落体偏向
傅科摆

加速转动参考系

F_{t} = m r^{'} \times β

质心

r_{c} = \frac{\sum r_{i} \cdot d m_{i}}{\sum d m_{i}}

微元积分、分块、负质量（也可以用于转动惯量等等）

质心运动定理

\sum F = m a_{c}

表达的内容和牛二不同。

外力合并在质心上，因此可以求解质心加速度。
已知质心加速度，求解外力。

在惯性参考系中，质心的运动等同于一个质点的运动；该质点的质量等于质点系的总质量，作用在该质点上的力等于质点系所受到的合外力。该质点的运动遵守牛顿第二定律，作用在该质点上的力等于它的质量乘以它的加速度。质点系运动时，其质心的加速度完全决定于质点系所受的外力。而与质点系的内力无关。

\begin{matrix} {\begin{aligned} N_{2} + m g \sin θ = m a_{c τ} = m \frac{1}{2} l β \\ N_{1} - m g \cos θ = m a_{c n} = m \frac{1}{2} l ω^{2} \end{aligned} \end{matrix}

$\boldsymbol a_c$ 是常量，即质心作匀速直线运动；如果质心原来是静止的，则它将在原处保持不动。

L = L_{c} + L^{'}

习题

分析受力，分析运动找约束，建系列方程，解之。

做题步骤

明确运动的物体。
考察物体所受力。
运动的参考系。
各个质点所受的力。
运动方程（分量方程）
几何关系。
近似。

$M$ $L$ $\omega$ $O$ $r$ 处的张力。

m = (L - r) \frac{M}{L}

$O$ 的距离：

\frac{1}{2} (L + r)

张力：

T = m a = (L - r) \frac{M}{L} \cdot \frac{1}{2} (L + r) ω^{2}

两物体拉绳

\begin{matrix} B : N + T_{B} + f + G = m_{B} a_{B} \\ A : G_{A} + T_{A} = m_{A} a_{A} \end{matrix}

$\boldsymbol T_A=\boldsymbol T_B,\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_B,\boldsymbol f=\mu \boldsymbol N$

讨论……

讨论雨滴下落过程中收到空气粘滞力作用时的运动规律。

\begin{matrix} m g + f = m a \\ f = - k v \end{matrix}

\Rightarrow m g - k v = m \frac{d v}{d t}

\begin{matrix} \frac{d v}{g - \frac{k}{m} v} = d t \\ - \frac{m}{k} \ln (g - \frac{k}{m} v) = t + C \end{matrix}

$C=0$ ，得到：

v = \frac{m g}{k} (1 - e^{- \frac{k}{m} t})

Terminal Velocity. 弛豫时间。

\frac{Φ}{\dot{Φ}} = τ

\begin{matrix} {\begin{matrix} q E + q v_{y} B = m \frac{d v_{x}}{d t} \\ q v_{x} B = m \frac{d v_{y}}{d t} \end{matrix} \end{matrix}

$\omega=qB/m,\gamma=qE/m$ ，则

\begin{matrix} {\begin{matrix} {\dot{v}}_{x} = γ + ω v_{y} \\ {\dot{v}}_{y} = ω v_{x} \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} v_{y} = ({\dot{v}}_{x} - γ) / ω \\ v_{x} = {\dot{v}}_{y} / ω \end{matrix}

\Rightarrow {\begin{matrix} {\ddot{v}}_{y} + ω^{2} v_{y} = ω γ \end{matrix}

几何关系 $A,B$ 的加速度大小相同，方向沿圆环切线方向。

分析：1、几何约束关系。轻绳不可伸长。2、受力、绳拉力和环支持力（沿法向方向）

$A$ $m_1,m_2$ $F$ $A$ $m_1,m_2$ 的加速度。

$m_2$ $A$ $\boldsymbol a$ $m_1$ $A$ $-\boldsymbol a$ 。

$T$ ，则……

$m$ $\theta$ 时小球对圆柱体的压力。

解析表达式。注意牛顿第二定律的矢量形式

N + m g = m a

\begin{matrix} {\begin{matrix} m g \sin θ = m \frac{d v}{d t} \\ m g \cos θ - N = m \frac{v^{2}}{R} \end{matrix} \end{matrix}

若使用机械能守恒定律，可以得到

\frac{1}{2} m v^{2} = m g (R - R \cos θ)

但是，我们现在还不知道，因此，需要使用牛顿第二定律分析过程。

由于不好分析时间，根据惯用手法，我们使用：

\begin{matrix} \frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d s} \frac{d s}{d t} = \frac{d v}{d s} v \\ \Rightarrow \frac{d v}{d s} = \frac{d v}{v d t} = \frac{g \sin θ}{v} \end{matrix}

这是一个微分方程，因此：

v d v = g R \sin θ d θ \Rightarrow \frac{1}{2} v^{2} = - g R \cos θ + C

因此

\frac{1}{2} v^{2} = (- g R \cos θ) - (- g R \cos 0) = g (R - R \cos θ)

$N'$ $N$ 。

N^{'} = N = m g \cos θ - m \frac{v^{2}}{R} = m g (3 \cos θ - 2)

分析结果

$n$ $A B, C D$ $R$ $1 / 4$ $B C$ $t=0$ $\vec{v}_0$ $A B$ $\mu$ $C D$ 板运动时的速度。

还是分析切向加速度和法向加速度。

m a_{n} = m \frac{v^{2}}{R} = N

m a_{t} = m \frac{d v}{d t} = - μ N = - μ m \frac{v^{2}}{R}

$v=v(t)$ $t$ $s$ ，因此需要代换：

\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d s} \frac{d s}{d t} = \frac{d v}{d s} v

\frac{d v}{v} = - \frac{μ}{R} d s

积分得：

v = v_{0} e^{- \frac{1}{2} π μ}

注意点：摩擦力符号取负号，支持力的计算。

\begin{aligned} a_{t} & = g \sin θ a_{n} = v^{2} / l \\ \vec{f} & = m a_{x} \vec{i} \\ = m (a_{t} \cos θ + a_{n} \sin θ) \vec{i} \\ = m \sin θ (g \cos θ + \frac{v^{2}}{l}) \vec{i} \\ \vec{N} & = m (g + a_{y}) \vec{j} = m (g + a_{n} \cos θ - a_{t} \sin θ) \vec{j} \end{aligned}

作用力就要分摩擦力和支持力考虑。

由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计空气阻力及其它作用力，设地球半径为6378000m）

\frac{d v}{d t} = a = - \frac{G M}{R^{2}} = \frac{d v}{d R} v

得到：

\frac{1}{2} v^{2} = \frac{G M}{R} + C

所以最小初速度是：

\sqrt{\frac{2 G M}{R}}

$M$ $\mathrm{Q}$ $v_0$ $k(f=-k v)$ $\mathrm{Q}$ $\mathrm{P}$ $l_0$ $P$ $v_{\mathrm{p}}$ $P$ $F_0$ $F_0$ $\alpha$ (如图), 求船在该点的切向加速度及航道的曲率半径.

得到
$- \frac{M}{k} d v = d s$ $- \frac{M}{k} v = C + s$
$C=-\frac{M}{k}v_0$ $v_p=v_0-\frac{kl_0}{M}$ 。
只用分析瞬时的问题。
切向加速度：
$a_{t} = (F_{0} \cos α - k v_{p}) / M$
法向加速度：
$a_{n} = F_{0} \sin α / M$
而曲率半径：
$ρ = \frac{v_{p}^{2}}{a_{n}} = \frac{M v_{p}^{2}}{F_{0} \sin α}$
$v_p$ 需要自己代入。

摩擦的临界角问题：

\begin{matrix} F_{f} = m g \sin θ \\ F_{N} = m g \cos θ \\ μ_{s} \geq F_{f} / F_{N} = \tan θ \end{matrix}

近地重力加速度的近似：

g^{'} = \frac{G M}{(R + h)^{2}}

(1 + \frac{h}{R})^{- 2} \approx 1 - 2 \frac{h}{R}

因此：

g \approx g_{0} (1 - 2 \frac{h}{R})

$m$ $F_0$ $v$ $v_0$ $l$ $4l/5$ 处才关闭发动机，这样船靠岸时的速度为多少? 从关闭发动机到船靠岸过程用了多少时间?

$k$ $f=-kv$ 。

F_{0} + f = F_{0} - k v_{0} = 0 \Rightarrow k = \frac{F_{0}}{v_{0}}

关闭发动机后

m a = m \frac{d v}{d t} = - k v

$\mathrm d v/\mathrm d s=-k/m$ 。

0 = - k l / m + v_{0} \Rightarrow l = \frac{m v_{0}}{k} = \frac{m v_{0}^{2}}{F_{0}}

v^{'} = \frac{1}{5} v_{0}

实际上反映了速度和路程正相关。

\int_{t = 0}^{t_{0}} \frac{d v}{d t} d t = - \frac{4}{5} v_{0}

$a=-kv/m$ 。

\begin{matrix} t = - m \ln v / k + C^{'} \Rightarrow C^{'} = m \ln v_{0} / k \\ \Rightarrow t_{0} = m / k (\ln v_{0} - \ln (1 / 5 v_{0})) = \frac{m v_{0}}{F_{0}} \ln 5 \end{matrix}

绳绕圆柱问题

\begin{matrix} (F_{T} + d F_{T}) \cos \frac{d θ}{2} - F_{T} \cos \frac{d θ}{2} - F_{f} = 0, F_{f} = μ F_{N} \\ - (F_{T} + d F_{T}) \sin \frac{d θ}{2} - F_{T} \sin \frac{d θ}{2} + F_{N} = 0 \end{matrix}

$\sin,\cos$ ，

也可以直接做力的分解：

N = 2 F_{T} \cdot \frac{d θ}{2} = F_{T} d θ d θ = μ N

\int_{F_{T_{B}}}^{F_{T_{A}}} \frac{d F_{T}}{F_{T}} = μ \int_{0}^{θ} d θ

\frac{F_{T_{B}}}{F_{T_{A}}} = e^{- μ θ}

$v_0$ $x=l$ $y=h$ $m$ $v_0$ 不变，求飞机起飞时受到的空气升力。

$y=\frac{h}{l^2} x^2$ $y$ $a(x)$ 。
$\begin{matrix} \tan (θ (x)) = \frac{2 h}{l^{2}} \\ a_{t} (x) = a (x) \cos (θ (x)) \\ a_{n} (x) = a (x) \sin (θ (x)) = \frac{v (x)^{2}}{ρ (x)} \end{matrix}$
$\rho(x)=$

几何关系的约束，转化为参数方程：

\begin{matrix} \frac{d y}{d t} = 2 k x \frac{d x}{d t} \\ v_{y} = 2 k v_{0} x \\ a_{y} = v_{y}^{'} = \frac{2 h v_{0}^{2}}{l^{2}} \end{matrix}

得到：

F_{s} = m g + m a_{y} = m (\frac{2 h v_{0}^{2}}{l^{2}} + g)

注意飞机的重力。

$M$ $\alpha$ $m$ 的物块。如图所示。

设各面之间的摩擦力均可忽略不计。试按照下列三种方法求解三角形物块的加速度。

用牛顿定律及约束方程。
由几何约束关系：
$y_{m} = (x_{m} - x_{M}) \tan α$ $a_{m y} = (a_{m x} - a_{M x}) \tan α$
加速度正方向为 距离减小 的方向。
做受力分析：
$\begin{matrix} M a_{M x} = - N \sin α \\ m a_{m x} = N \sin α \\ m a_{m y} = m g - N \cos α \end{matrix}$
得到
$N = \frac{g m M \cos α}{M + m \sin^{2} α}$
$a_{Mx}$ ，等于
$a_{M x} = - \frac{N \sin α}{M} = - \frac{m g \sin α \cos α}{M + m \sin^{2} α}$
$x$ 轴负方向。
结果分析：
$\alpha \to \frac{\pi}{2}$ $\alpha \to 0$ $\to 0$ ，结果合理。
用牛顿定律及 运动叠加 原理。
$\boldsymbol a_m$ $\boldsymbol a_M$ $\boldsymbol a_m+\boldsymbol a_M$ 。
对于三角块。
$N \sin α = M a_{M}$
$N-mg \cos \alpha$ $\boldsymbol a_m+\boldsymbol a_M$ $N$ $mg \sin \alpha$ $\boldsymbol a_m+\boldsymbol a_M$ $N$ 方向的分量，因此：
$\begin{matrix} N - m g \cos α = a_{M} \cos α \\ m g \sin α = a_{M} \cos α - a_{m} \end{matrix}$
解得：
$a_{M} = \frac{m g \sin α \cos α}{M + m \sin^{2} α}$
用非惯性系中力学定律，需要引入惯性力。
$a_M$ $m a_M$ 。小滑块需要在垂直斜面方向受力平衡，因此：
$\begin{matrix} N \sin α = M a_{M} \\ N + m a_{M} \sin α = m g \cos α \end{matrix}$
得到
$N = \frac{m M g \cos α}{M + m \sin^{2} α}$
$a_M=\frac{mg\sin\alpha\cos \alpha}{M+m\sin^2\alpha}$ 。

关联加速度问题

$m_1$ $a_1$ $m_1$ $m_3$ $a_2$ 。

$T$ $m_3$ $m_1$ $N$ 。

$m_1$ ：

N + T - F = m a_{1}

$m_3$ ：

\begin{matrix} N = m a_{1} \\ m a_{2} = T - m g \end{matrix}

$m_2$ ：

m a_{1} - T = m a_{2}

等效重力

阻力问题

- m g - k v = m \frac{d v}{d t}

是阻力，所以带负号。

得到：

\frac{d v}{m g + k v} = - \frac{1}{m} d t

\ln (\frac{m g + k v}{m g + k v_{0}}) = - \frac{k}{m} t

这里直接给出了常数项。

解运动规律还需要知道任意时间的位移和加速度。

y = \int_{0}^{t} v d t a = \frac{d v}{d t}

$v=0$ $t_0$ $y$ $\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dy}$ 。这样，积分变量只和已知的速度有关。

讨论是必要的，可以代入特殊情况看算的合不合理。

**17-2

考虑到

f_{阻} = c_{1} v^{2} + μ (m g - c_{2} v^{2}) m g = c_{2} v_{0}^{2}

得到

- m \frac{d v}{d t} = c_{1} v^{2} + μ (c_{2} v_{0}^{2} - c_{2} v^{2})

考虑到需要求滑行距离，因此需要变换

- m v \frac{d v}{d x} = c_{1} v^{2} + μ (c_{2} v_{0}^{2} - c_{2} v^{2})

得到：

\begin{matrix} d x = \frac{- m v d v}{μ c_{2} v_{0}^{2} + (c_{1} - μ c_{2}) v^{2}} \\ \int_{0}^{x_{c}} d x = - \int_{v_{0}}^{0} \frac{m v d v}{μ m g + (c_{1} - μ c_{2}) v^{2}} \\ x_{c} = \frac{1}{2} \ln (μ m g + (c_{1} - μ c_{2}) v_{0}^{2} / μ m g) \times \frac{m}{c_{1} - μ c_{2}} \end{matrix}

x_{c} = \frac{c_{2} v_{0}^{2}}{2 g (c_{1} - μ c_{2})} \ln (\frac{c_{1} v_{0}^{2}}{μ c_{2} v_{0}^{2}})

2-7

隔离B，在水平方向应用牛二，有：

N \sin θ - μ (m_{B} g + N \cos θ) = m_{B} a > 0

隔离A，在两个方向上：

N \cos θ \leq m_{A} g

因此：

\frac{m_{A} g}{\cos θ} \geq N > \frac{μ m_{B} g}{\sin θ - μ \cos θ}

因此，为了保证不等号成立：

μ < \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B}} \tan θ

$\mu$ $m_A g -N\cos \theta$ $A$ $\mu(m_A g -N\cos \theta)$ $A$ 用牛顿第二定律，得

F - μ (m_{A} g - N \cos θ) - N \sin θ = m_{A} a

得到

F = N (\sin θ - μ \cos θ) (1 + \frac{m_{A}}{m_{B}})

$N$ 的取值范围代入即可得。