## 牛顿运动三定律

### 牛顿第一定律（惯性定律）

任何物体如果没有力的作用，都将保持静止或者匀速直线运动的状态。

- 惯性参考系的概念。
- 定义了惯性和力。

### 牛顿第二定律

牛顿第二定律
实验表明: 力满足矢量的平行四边形叠加定则。即质 点所受的合力为所有作用在质点上的力的矢量和:
$$
\vec{F}=\sum_i \vec{F}_i
$$
在合力作用下, 质点的加速度 $\vec{a}$ 有以下性质:
(1) 加速度方向同合力
(2) $\displaystyle \vec{a} \propto \frac{\sum_i \vec{F}_i}{m}$
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol F&=F_x \boldsymbol i+F_y \boldsymbol j+F_z \boldsymbol k\\
&=m(a_x \boldsymbol i+a_y \boldsymbol j+a_z \boldsymbol k)
\end{aligned}
$$

在自然坐标系中：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol F&=F_t \boldsymbol e_t+F_n \boldsymbol e_n\\
&=m \frac{\mathrm d v}{\mathrm d t} \boldsymbol e_t+m \frac{v^2}{\rho} \boldsymbol e_n
\end{aligned}
$$
切向、法向牛顿第二定律
$$
\displaystyle \left\{ \begin{matrix}F_t=m\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t} \\ F_n=m\frac{v^2}{\rho}\end{matrix}\right.
$$


### 牛顿第三定律

定义了相互作用的性质。

力的传递速度是有限的。适用于实物的相互作用问题，不适用于 **场传递** 的相互作用。

### 牛顿运动定律的适用范围

惯性系、低速、宏观、实物。

## 常见的力

### 引力

$$
F_g=G\frac{m_GM}{R^2}
$$

$$
F=m_Ia
$$

反应了两种完全不同的属性。惯性质量和引力质量有等同性。

对于自由下落的物体，
$$
G\frac{m_GM}{R^2}=m_Ig
$$

$$
\frac{m_I}{m_G}=\frac{GM}{gR^2}
$$

牛顿力学中这两种质量是等同的。Gravity 正比于 $k_1m_0$ Inertia 正比于 $k_2m_0$。

调整 $G$ 使得 $m_I=m_G$。广义相对论的等效原理。General Relativity, Special Relativity.

- 质点在球对称物体外面，则它受到的力等价于物体质量球心处时的吸引力。（三重积分）
- 质点处于均匀球壳内部，受到的万有引力为 0。用微元法证明。角度 $\Delta \Omega$，第一块微元 $\Delta S_1 = \Delta \Omega \cdot r_1^2$，第二块微元 $\Delta S_2 = \Delta \Omega \cdot r_2^2$。面密度 $\sigma$，得到 $\Delta F_1=G \frac{\sigma\Delta \Omega \cdot r_1^2 m_0}{r_1^2}$，$\Delta F_1=\Delta F_2$ ，互相抵消。

高斯定律：
$$
F_e=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1q_2}{r^2} \Rightarrow \oiint \boldsymbol E \cdot \mathrm d \boldsymbol S=\frac{q}{\varepsilon_0}
$$
万有引力定律：
$$
F_g=G \frac{m_1m_2}{r^2} \Rightarrow \oiint \boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol S=\frac{m}{\lambda_0}
$$

### 重力

在地球表面物体所受力是引力和离心力的结合。
$$
\boldsymbol p =m \boldsymbol g=\boldsymbol F_e+\boldsymbol F_I\\
\boldsymbol F_e=G \frac{mM}{R^2}\\
\boldsymbol F_I=m\omega^2 r\quad r=R\cos\varphi
$$

$$
\boldsymbol p ^2 =\boldsymbol F_e^2+\boldsymbol F_I^2-2\cos \varphi \boldsymbol F_e\boldsymbol F_I\\
|\boldsymbol p|=(\boldsymbol F_e^2+\boldsymbol F_I^2-2\cos \varphi \boldsymbol F_e\boldsymbol F_I)^\frac{1}{2}\approx \boldsymbol F_e(1+\Delta-2\cos \varphi \frac{\boldsymbol F_I}{\boldsymbol F_e})^\frac{1}{2} \approx \boldsymbol F_e(1-\frac{\boldsymbol F_I}{\boldsymbol F_e}\cos \varphi)
$$

### 弹性力

$$
\boldsymbol F=-kx \boldsymbol i
$$

线性恢复力。$k$ 劲度系数，$x \boldsymbol i$ 物体的位移。

弹性力起源于电磁力。

金属丝的应力和应变关系。

<img src="https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_bee65b41d3b4d7b83d4ec92a6e095775.png" alt="image-20230307201209249" style="zoom:33%;" />

### 摩擦力

阻止两个相接触物体之间相对运动趋势的力。**摩擦力**
$$
f_{\mathrm{s~max}}=\mu_s N
$$
最大静摩擦力。
$$
f_{\mathrm k} = \mu_k N
$$
滑动摩擦系数与物体相对运动速度有关，低速下基本为常数。跟物体表面光滑和粗糙程度有关系。

### 流体阻力

$$
f = \alpha v+\beta v^2 +\gamma v^3 + \cdots
$$

$$
\alpha \gg \beta \gg \gamma
$$

物体速度小的时候：$\boldsymbol f = -b \boldsymbol v$。

物体速度更大的时候：$\boldsymbol f=-c \boldsymbol v^2$。$c$ 与流体及物体的性质有关。湍流。

物体运动速度更大：$\boldsymbol f$ 正比于 $v^3$。

## 力学相对性原理

### 非惯性参考系

牛顿定律只能在特殊的参考系-惯性系中成立。

常用近似惯性系：地面参考系，地心参考系，太阳参考系。

$S'$ 相当于 $S$ 平动，速度为 $\boldsymbol u$。
$$
\boldsymbol v=\boldsymbol v'+\boldsymbol u\\
\boldsymbol a=\boldsymbol a'+\frac{\mathrm d \boldsymbol u}{\mathrm d t}
$$
**在牛顿力学中，相互作用力与参考系无关。质量在不同参考系中测量是相同的。**

力的测量、质量的测量是一样的，而加速度 $\boldsymbol a=\boldsymbol a'$，这样牛顿定律成立。

一切惯性系在力学意义上是等价的，平权的。

惯性力：
$$
\boldsymbol F_I=-m\boldsymbol a_0\\
\boldsymbol F+\boldsymbol F_I=m \boldsymbol a'
$$

平动惯性力。

### 匀速转动参考系

在 $S$ 中 $T=ma,a=r \omega^2$，或者
$$
\displaystyle \left\{ \begin{matrix}T=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2 r\\0=m\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}\end{matrix}\right.
$$
$T$ 提供小球的向心力。

在转动参考系 $S'$ 中需要引入
$$
F_i=-ma_0=mR\omega^2
$$

$\boldsymbol F_i$ 被称为离心惯性力。
$$
\boldsymbol F_i=mr\omega^2\boldsymbol e_r
$$
在地面参考系上，地面上的物体受惯性离心力。

### Coriolis 力

让弹簧断开，使小球拥有速度。

在 $S$（惯性系）中，需要有离心惯性力
$$
\boldsymbol F_i=-m\boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r)
$$
Coriolis 力：
$$
\boldsymbol f_c=-2m\boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'
$$
推导：
$$
\boldsymbol v=\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r + \boldsymbol v'
$$
多出来一项转动的速度 $\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r$。注意 $\mathrm  d\boldsymbol v'/\mathrm d t=\boldsymbol a'+\boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'$。
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm d \boldsymbol v}{\mathrm d t}&=\boldsymbol a'+\boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'+\underbrace{\frac{\mathrm d \boldsymbol \omega}{\mathrm d t}}_{=0}\times \boldsymbol r+\boldsymbol \omega \times \frac{\mathrm d \boldsymbol r}{\mathrm d t}\\
&=\boldsymbol a'+\boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'+\boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r + \boldsymbol v')
\end{aligned}
\Rightarrow \boldsymbol a'=\boldsymbol a-2\boldsymbol \omega \times \boldsymbol v'-\boldsymbol \omega \times (\boldsymbol \omega \times \boldsymbol r)
$$


定性比较 $\boldsymbol F_i$ 和 $\boldsymbol f_c$。需要达到几百米的速度。

地球参考系中：

- 重力
- 贸易风的偏向
- 轨道磨损
- 河床冲刷
- 落体偏向
- 傅科摆

### 加速转动参考系

$$
\boldsymbol F_t=m\boldsymbol r'\times \boldsymbol \beta
$$

## 质心

$$
\boldsymbol r_c=\frac{\sum \boldsymbol r_i \cdot \mathrm d m_i}{\sum \mathrm d m_i}
$$

微元积分、分块、负质量（也可以用于转动惯量等等）

### 质心运动定理

$$
\sum F=m a_c
$$

表达的内容和牛二不同。

1. 外力合并在质心上，因此可以求解质心加速度。
2. 已知质心加速度，求解外力。

在惯性参考系中，质心的运动等同于一个质点的运动；该质点的质量等于质点系的总质量，作用在该质点上的力等于质点系所受到的合外力。该质点的运动遵守牛顿第二定律，作用在该质点上的力等于它的质量乘以它的加速度。质点系运动时，其质心的加速度完全决定于质点系所受的外力。而与质点系的内力无关。
$$
\left\{
\begin{aligned}
&N_2+mg\sin\theta=ma_{c\tau}=m\frac{1}{2}l\beta\\
&N_1-mg\cos\theta=ma_{cn}=m\frac{1}{2}l\omega^2
\end{aligned}
\right.
$$
质点系质心守恒定理：如果作用于质点系的所有外力的矢量和恒等于零，于是有 $\boldsymbol a_c$ 是常量，即质心作匀速直线运动；如果质心原来是静止的，则它将在原处保持不动。 
$$
L=L_c+L'
$$


## 习题

分析受力，分析运动找 **约束**，建系列方程，解之。 

### 做题步骤

- 明确运动的物体。
- 考察物体所受力。
- 运动的参考系。
- 各个质点所受的力。
- 运动方程（分量方程）
- 几何关系。
- 近似。

---------

质量为 $M$、长为 $L$ 的匀质细绳在水平面内以角速度 $\omega$ 绕点 $O$ 匀速转动，并且始终保持伸直状态。求绳子内离中心 $r$ 处的张力。
$$
m=(L-r)\frac{M}{L}
$$
质心距离原点 $O$ 的距离：
$$
\frac{1}{2}(L+r)
$$
张力：
$$
T=ma=(L-r)\frac{M}{L}\cdot \frac{1}{2}(L+r)\omega^2
$$

------------

**两物体拉绳**
$$
B:\boldsymbol N+\boldsymbol T_B+\boldsymbol f+\boldsymbol G=m_B \boldsymbol a_B\\
A:\boldsymbol G_A+\boldsymbol T_A= m_A \boldsymbol a_A
$$

附加约束，$\boldsymbol T_A=\boldsymbol T_B,\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_B,\boldsymbol f=\mu \boldsymbol N$

讨论……

-------

讨论雨滴下落过程中收到空气粘滞力作用时的运动规律。
$$
mg+f=ma\\f=-kv
$$

$$
\Rightarrow mg-kv=m \frac{\mathrm d v}{\mathrm dt}
$$

$$
\frac{\mathrm d v}{g-\frac{k}{m} v}=\mathrm d t
\\ -\frac{m}{k}\ln (g-\frac{k}{m} v)=t+C
$$

由于一开始运动，$C=0$，得到：
$$
v=\frac{mg}{k} (1-e^{-\frac{k}{m}t})
$$
Terminal Velocity. 弛豫时间。
$$
\frac{\Phi}{\dot{\Phi}}=\tau
$$

------------

$$
\left\{\ 
\begin{matrix}
qE+qv_yB=m \frac{\mathrm d v_x}{\mathrm d t}\\
qv_xB=m\frac{\mathrm d v_y}{\mathrm d t}
\end{matrix}
\right.
$$

令 $\omega=qB/m,\gamma=qE/m$，则
$$
\left\{\ 
\begin{matrix}
\dot{v}_x=\gamma + \omega v_y\\
\dot{v}_y=\omega v_x
\end{matrix}
\right.
$$

$$
v_y=(\dot{v}_x-\gamma)/\omega\\
v_x=\dot{v}_y/\omega
$$

$$
\Rightarrow\left\{\ 
\begin{matrix}
\ddot{v}_y+\omega^2v_y=\omega \gamma
\end{matrix}
\right.
$$

------------

![image-20230310094337746](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_1869b061b97c500c95d48bba64ed2b83.png)

考虑 **几何关系**，可以得出 $A,B$ 的加速度大小相同，方向沿圆环切线方向。

分析：1、几何约束关系。轻绳不可伸长。2、受力、绳拉力和环支持力（沿法向方向）

-------

已知：轻滑轮 $A$，物体 $m_1,m_2$，恒力 $F$。求 $A$ 和 $m_1,m_2$ 的加速度。

![image-20230310094801511](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_ba12b9955a15479ac062ab9cec2d7ace.png)

轻绳的约束关系：设 $m_2$ 相对于 $A$ 有 $\boldsymbol a$，则 $m_1$ 相对 $A$ 有 $-\boldsymbol a$。

轻滑轮一定受力平衡。设绳上拉力为 $T$，则……

 

---------------

一固定光滑圆柱体上的质量为 $m$ 的小球从顶端下滑，求小球下滑到 $\theta$ 时小球对圆柱体的压力。

![image-20230310095335611](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_3fc71d5d2091012dd001d10cf217b8e0.png)

解析表达式。注意牛顿第二定律的矢量形式
$$
\boldsymbol N+m\boldsymbol g=m \boldsymbol a
$$

$$
\left\{\ 
\begin{matrix}
mg \sin \theta = m\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}\\
mg \cos \theta - N= m \frac{v^2}{R}
\end{matrix}
\right.
$$

若使用机械能守恒定律，可以得到
$$
\frac{1}{2}mv^2=mg(R-R\cos \theta)
$$
但是，我们现在还不知道，因此，需要使用牛顿第二定律分析过程。

由于不好分析时间，根据惯用手法，我们使用：
$$
\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d v}{\mathrm d s} \frac{\mathrm d s}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d v}{\mathrm d s} v\newline
\Rightarrow \frac{\mathrm d v}{\mathrm d s} =\frac{\mathrm d v}{v\mathrm d t}=\frac{g \sin \theta}{v}
$$
这是一个微分方程，因此：
$$
v\mathrm d v=gR\sin \theta \mathrm d \theta \Rightarrow \frac{1}{2} v^2=-gR\cos \theta+C
$$
因此
$$
\frac{1}{2} v^2= (-gR \cos \theta)-(-gR\cos 0)=g(R-R\cos \theta)
$$
分析小球对圆柱体的压力 $N'$，圆柱体对小球的支持力 $N$。
$$
N'=N=mg \cos \theta -m \frac{v^2}{R}=mg(3\cos \theta-2)
$$

**分析结果**

![image-20230310100452245](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_39fabc1e746ac20e1073346b85d4282a.png)

------------

 质量为 $n$ 的物体在无摩擦的桌面上滑动, 其运动被约 束于固定在桌面上的挡板内, 挡板是由 $A B, C D$ 平直板和半径 为 $R$ 的 $1 / 4$ 圆弧形板 $B C$ 组成, 如图所示。若 $t=0$ 时, 物体以 速度 $\vec{v}_0$ 沿着 $A B$ 的内壁运动, 物体与挡板间的摩擦系数为 $\mu$ 。 试求物体沿着 $C D$ 板运动时的速度。

还是分析切向加速度和法向加速度。
$$
m\boldsymbol a_n=m\frac{v^2}{R}=N
$$

$$
m\boldsymbol a_t=m\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}=-\mu N=-\mu m \frac{v^2}{R}
$$
可以得到 $v=v(t)$，但是不知道 $t$，知道 $s$，因此需要代换：
$$
\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d v}{\mathrm d s}\frac{\mathrm d s}{\mathrm d t}=\frac{\mathrm d v}{\mathrm d s}v
$$

$$
\frac{\mathrm d v}{v}=-\frac{\mu}{R} \mathrm d s
$$

积分得：
$$
v=v_0 e^{-\frac{1}{2} \pi \mu}
$$

注意点：摩擦力符号取负号，支持力的计算。

-----------------

![image-20230310101602446](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_dd50dc3021f3a2f2d492839b2df97e11.png)
$$
\begin{aligned}
a_t & =g \sin \theta \quad a_n=v^2 / l \\
\vec{f} & =m a_x \vec{i} \\
& =m\left(a_t \cos \theta+a_n \sin \theta\right) \vec{i} \\
& =m \sin \theta\left(g \cos \theta+\frac{v^2}{l}\right) \vec{i} \\
\vec{N} & =m\left(g+a_y\right) \vec{j}=m\left(g+a_n \cos \theta-a_t \sin \theta\right) \vec{j}
\end{aligned}
$$

作用力就要分摩擦力和支持力考虑。


---------

由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计空气阻力及其它作用力，设地球半径为6378000m）
$$
\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}=a=-\frac{GM}{R^2}=\frac{\mathrm d v}{\mathrm d R}v
$$
得到：
$$
\frac{1}{2}v^2=\frac{GM}{R}+C
$$
所以最小初速度是：
$$
\sqrt{\frac{2GM}{R}}
$$

--------------

例: 一质量为 $M$ 的机动船, 在进入河弯道前 $\mathrm{Q}$ 点处关闭发动机，以速度 $v_0$ 在静水中行驶, 设水的阻力与船速成正比, 且方向相反, 比例系数为 $k(f=-k v)$ (1) 若 $\mathrm{Q}$ 点至弯道处 $\mathrm{P}$ 点的距离为 $l_0$, 求船行至 $P$ 点时的速率 $v_{\mathrm{p}}$. (2) 若船行至 $P$ 点 时开动发动机, 给船以 $F_0$ 的转向力, $F_0$ 的方向与速度夹角 为 $\alpha$ (如图), 求船在该点的切向加速度及航道的曲率半径.

1. 得到
   $$
   -\frac{M}{k} \mathrm d v=\mathrm d s
   $$

   $$
   -\frac{M}{k}v=C+s
   $$

   得到 $C=-\frac{M}{k}v_0$，则 $v_p=v_0-\frac{kl_0}{M}$。

2. 只用分析瞬时的问题。

   切向加速度：
   $$
   a_t=(F_0\cos \alpha-kv_p)/M
   $$
   法向加速度：
   $$
   a_n=F_0 \sin \alpha/M
   $$
   而曲率半径：
   $$
   \rho=\frac{v_p^2}{a_n}=\frac{Mv_p^2}{F_0 \sin\alpha}
   $$
   $v_p$ 需要自己代入。

------

摩擦的临界角问题：
$$
F_f=mg\sin\theta\\
F_N=mg\cos\theta\\
\mu_s \ge F_f/F_N=\tan\theta
$$

-------------------

近地重力加速度的近似：
$$
g'=\frac{GM}{(R+h)^2}
$$

$$
(1+\frac{h}{R})^{-2} \approx 1-2\frac{h}{R}
$$

因此：
$$
g \approx g_0(1-2\frac{h}{R})
$$

---

**质量为 $m$ 的渡船在恒定动力 $F_0$ 和与速度 $v$ 成正比的河水阻力共同作用下能达到的极限速度为 $v_0$，则以此极限速度运动的渡船在离码头多少距离 $l$ 就可关闭发动机，从而使船靠岸时的速度为零? 为不使靠岸过程的时间过长，船实际上在离码头 $4l/5$ 处才关闭发动机，这样船靠岸时的速度为多少? 从关闭发动机到船靠岸过程用了多少时间?

极限速度：受力平衡。设比例系数为 $k$，即阻力 $f=-kv$。
$$
F_0+f=F_0-kv_0=0 \Rightarrow k=\frac{F_0}{v_0}
$$
关闭发动机后
$$
ma=m\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}=-kv
$$
事实上，这类条件等价于 $\mathrm d v/\mathrm d s=-k/m$。
$$
0=-kl/m+v_0 \Rightarrow l=\frac{mv_0}{k}=\frac{mv_0^2}{F_0}
$$

$$
v'=\frac{1}{5}v_0
$$

实际上反映了速度和路程正相关。
$$
\int_{t=0}^{t_0} \frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}\mathrm d t=-\frac{4}{5} v_0
$$
为了求出速度，需要变换微分方程 $a=-kv/m$。
$$
t=-m\ln v/k+C' \Rightarrow C'=m\ln v_0/k\\\Rightarrow t_0=m/k(\ln v_0-\ln (1/5v_0))=\frac{m v_0}{F_0}\ln 5
$$

-----------

绳绕圆柱问题
$$
(F_T+\mathrm d F_T) \cos \frac{\mathrm d \theta}{2}-F_T\cos \frac{\mathrm d \theta}{2} -F_f=0,F_f=\mu F_N\\
-(F_T+\mathrm d F_T)\sin \frac{\mathrm d \theta}{2}-F_T\sin \frac{\mathrm d \theta}{2}+F_N=0
$$
近似 $\sin,\cos $，

也可以直接做力的分解：
$$
N=2F_T\cdot \frac{\mathrm d \theta}{2}=F_T \mathrm d \theta \quad \mathrm d \theta=\mu N
$$

$$
\int_{F_{T_B}}^{F_{T_A}}\frac{\mathrm d F_T}{F_T}=\mu\int_0^\theta \mathrm d \theta
$$

$$
\frac{F_{T_B}}{F_{T_A}}=e^{-\mu \theta}
$$

-----------

如图所示，飞机以水平速度 $v_0$ 飞离跑道后逐步上升，其上升轨道为抛物线，并测得 $x=l$ 时 $y=h$。设飞机的质量为 $m$，上升过程中水平速度 $v_0$ 不变，求飞机起飞时受到的空气升力。

>  确定飞机的轨道方程：$y=\frac{h}{l^2} x^2$。由于水平速度不变，因此加速度只朝向 $y$ 方向，设为 $a(x)$。
> $$
> \tan(\theta(x))=\frac{2h}{l^2}\\
> a_t(x)=a(x) \cos (\theta (x))\\
> a_n(x)=a(x) \sin (\theta (x))=\frac{v(x)^2}{\rho(x)}
> $$
>  而 $\rho(x)=$

几何关系的约束，转化为参数方程：
$$
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}=2kx \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}\\
v_y=2kv_0x\\
a_y=v_y'=\frac{2hv_0^2}{l^2}
$$
得到：
$$
F_s=mg+ma_y=m\left(\frac{2hv_0^2}{l^2}+g\right)
$$

注意飞机的重力。

-------------------

一质量为 $M$、顶角为 $\alpha$ 的三角形光滑物体上，放有一个质量为 $m$ 的物块。如图所示。

设各面之间的摩擦力均可忽略不计。试按照下列三种方法求解三角形物块的加速度。

![image-20230310113337807](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_4d0d0051fb617d03cc41ffbb1575c52c.png)

1. 用牛顿定律及约束方程。

   由几何约束关系：
   $$
   y_m=(x_m-x_M)\tan \alpha
   $$

   $$
   a_{my}=(a_{mx}-a_{Mx})\tan \alpha
   $$

   加速度正方向为 **距离减小** 的方向。

   做受力分析：
   $$
   Ma_{Mx}=-N\sin \alpha\\
   ma_{mx}=N \sin \alpha\\
   ma_{my}=mg-N\cos \alpha
   $$
   得到
   $$
   N=\frac{gmM\cos\alpha }{M+m\sin^2\alpha}
   $$
   题目要求 $a_{Mx}$，等于
   $$
   a_{Mx}=-\frac{N\sin\alpha}{M}=-\frac{mg\sin\alpha\cos \alpha}{M+m\sin^2\alpha}
   $$
   朝向 $x$ 轴负方向。

   **结果分析：**

   当 $\alpha \to \frac{\pi}{2}$ 或 $\alpha \to 0$ 时，加速度 $\to 0$，结果合理。

2. 用牛顿定律及 **运动叠加** 原理。

   分析小滑块的运动，由于小滑块只能在斜面上运动，因此会有朝向斜面的加速度分量 $\boldsymbol a_m$，而斜面有自己的加速度 $\boldsymbol a_M$，因此，小滑块的加速度为 $\boldsymbol a_m+\boldsymbol a_M$。

   对于三角块。
   $$
   N\sin\alpha=Ma_M
   $$
   对于小滑块：$N-mg \cos \alpha$ 为 $\boldsymbol a_m+\boldsymbol a_M$ 在 $N$ 方向的分量，$mg \sin \alpha$ 为 $\boldsymbol a_m+\boldsymbol a_M$ 在垂直 $N$ 方向的分量，因此：
   $$
   N-mg \cos \alpha=a_M\cos \alpha\\
   mg \sin \alpha=a_M \cos \alpha-a_m
   $$
   解得：
   $$
   a_M=\frac{mg\sin\alpha\cos \alpha}{M+m\sin^2\alpha}
   $$

3. 用非惯性系中力学定律，需要引入惯性力。

   设斜面的加速度为 $a_M$，以斜面为参考系（非惯性参考系），小滑块需要受水平向左的惯性力  $m a_M$。小滑块需要在垂直斜面方向受力平衡，因此：
   $$
   N\sin \alpha=M a_M\\
   N+ma_M\sin\alpha=mg\cos \alpha
   $$
   得到
   $$
   N=\frac{mMg\cos \alpha}{M+m\sin^2\alpha}
   $$
   因此 $a_M=\frac{mg\sin\alpha\cos \alpha}{M+m\sin^2\alpha}$。

**关联加速度问题**

![image-20230311152019825](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_1174a1f4e9fa251d62f2f1215465e953.png)

设 $m_1$ 向右的加速度为 $a_1$，在 $m_1$ 参考系中，$m_3$ 有向上的加速度 $a_2$。

绳拉力为 $T$，$m_3$ 受到 $m_1$ 支持力为 $N$。

因此对 $m_1$：
$$
N+T-F=ma_1
$$
对 $m_3$：
$$
N=ma_1\\
ma_2=T-mg
$$
对 $m_2$：
$$
ma_1-T=ma_2
$$

------------

**等效重力**

![image-20230311152730766](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_fc2616f4836e37ffa48e3e7366b7e689.png)

![image-20230311152823069](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_9a342c3bff41266cb941871d9228d4ce.png)

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**阻力问题**

![image-20230311152853576](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_18e722f7eab9f2c325d376629d5d7558.png)
$$
\boxed{-mg-kv=m \frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}}
$$
是阻力，所以带负号。

得到：
$$
\frac{\mathrm d v}{mg+kv}=-\frac{1}{m} \mathrm d t
$$

$$
\ln\left(\frac{mg+kv}{mg+kv_0}\right)=-\frac{k}{m}t
$$

这里直接给出了常数项。

解运动规律还需要知道任意时间的位移和加速度。
$$
y=\int_0^t v\mathrm d t \qquad
a=\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}
$$
求解最高点？此时 $v=0$。然后得到对应的时间 $t_0$ 代入 $y$ 的表达式。也可以用变换 $\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dy}$。这样，积分变量只和已知的速度有关。

![image-20230311154324378](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_670a36a5d28b748f285e6d1e3ab1993b.png)

讨论是必要的，可以代入特殊情况看算的合不合理。

### **17-2

![image-20230318151941889](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_4ca9b1362e3ca88cbb4ec0f16410d8b1.png)

考虑到
$$
f_{阻}=c_1v^2+\mu(mg-c_2v^2) \quad mg=c_2v_0^2
$$
得到
$$
-m\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t}=c_1v^2+\mu(c_2v_0^2-c_2v^2)
$$
考虑到需要求滑行距离，因此需要变换
$$
-mv\frac{\mathrm d v}{\mathrm d x}=c_1v^2+\mu(c_2v_0^2-c_2v^2)
$$
得到：
$$
\mathrm d x=\frac{-mv\mathrm d v}{\mu c_2v_0^2+(c_1-\mu c_2)v^2}\\
\int_0^{x_c} \mathrm d x=-\int_{v_0}^0 \frac{mv\mathrm d v}{\mu mg+(c_1-\mu c_2)v^2}\\
x_c=\frac{1}{2} \ln (\mu mg+(c_1-\mu c_2)v_0^2/\mu mg)  \times \frac{m}{c_1-\mu c_2}
$$

$$
x_c=\frac{c_2 v_0^2}{2g(c_1-\mu c_2)}\ln \left(\frac{c_1v_0^2}{\mu c_2 {v_0^2}}\right)
$$

### 2-7

![image-20230319092207830](https://notes.sjtu.edu.cn/uploads/upload_b7f1b9e6a57a7063361c4ef4aba71ac9.png)

隔离B，在水平方向应用牛二，有：
$$
N\sin \theta-\mu(m_Bg+N\cos \theta)=m_Ba >0
$$
隔离A，在两个方向上：
$$
N\cos \theta \le m_Ag
$$
因此：
$$
\frac{m_Ag}{\cos \theta} \ge N > \frac{\mu m_Bg}{\sin\theta -\mu\cos\theta}
$$
因此，为了保证不等号成立：
$$
\mu < \frac{m_A}{m_A+m_B} \tan\theta
$$
当 $\mu$ 满足这个条件时，A 对地面的正压力为 $m_A g -N\cos \theta$，$A$ 受地面的水平向左的摩擦力为 $\mu(m_A g -N\cos \theta)$。在水平方面对 $A$ 用牛顿第二定律，得
$$
F-\mu(m_A g -N\cos \theta)-N\sin\theta=m_A a
$$
得到
$$
F=N(\sin\theta -\mu\cos \theta)(1+\frac{m_A}{m_B})
$$
将 $N$ 的取值范围代入即可得。