Ch11-真空中的静电场

知识点

无限长均匀带电直线的电场分布。
电偶极子的电场分布。

电学基本概念

电荷、电荷守恒、电荷量子化（最小电荷为电子电荷）、点电荷模型（忽略大小和形状）

高斯定理：描述带电量和电场的关系

库伦定理：力与带电量的关系

电场与电场强度

电荷间电相互作用的传递是需要通过电场媒介传播的，因此需要一段时间。

基本的计算方法是叠加法，这里我们使用叠加法，先计算圆环，通过叠加同心圆环，得到圆盘的电场强度，通过叠加圆盘，得到圆锥的电场强度，对于圆盘，取半径趋于无穷大，可以得到平面的电场分布，通过叠加平面，可以得到有厚度平板的电场分布。

直线的电场分布

无限长均匀带电直线

给出和直线两端连线的夹角

E_{x} = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{λ \cos θ}{4 π ε_{0} a} d θ = \frac{λ}{4 π ε_{0} a} (\sin θ_{2} - \sin θ_{1})

E_{y} = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{λ \sin θ}{4 π ε_{0} a} d θ = \frac{λ}{4 π ε_{0} a} (\cos θ_{1} - \cos θ_{2})

$\theta_1=0,\theta_2=\pi$ .
$\theta_1=0,\theta_2=\pi/2$ .

带电圆环

$q$ $R$ $x$ 处点的场强。

$\mathrm d l$ 长度所带的电量：

d q = \frac{q}{2 π R} d l \Rightarrow d E = \frac{d q}{4 π ε_{0} r^{2}} = \frac{q d l}{8 π^{2} R ε_{0} r^{2}}

然后：

E = \int \cos θ d E = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}} \cos θ = \frac{q}{4 π ε_{0}} \frac{x}{(x^{2} + R^{2})^{3 / 2}}

带电圆盘

$R$ $\sigma$ ，则

d q = σ 2 π r d r

$\mathrm d E$ ，则

d E = \frac{d q x}{4 π ε_{0} (x^{2} + r^{2})^{3 / 2}} = \frac{σ}{2 ε_{0}} \frac{x r d r}{(x^{2} + r^{2})^{3 / 2}}

总电场为：

E = \int_{0}^{R} \frac{σ x}{2 ε_{0}} \frac{r d r}{(x^{2} + r^{2})^{3 / 2}} = \frac{σ}{2 ε_{0}} (1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}})

$P$ $x$ $\theta$ ，也可以表示为：

E = \frac{σ}{2 ε_{0}} (1 - \cos θ)

讨论：

$\displaystyle \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ .
$x \gg R$ $\displaystyle \approx \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \frac{R^2}{2x^2}=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 x^2}$ .

电势：

V = \frac{σ}{2 ε_{0}} (\sqrt{R^{2} + x^{2}} - x)

带电圆锥

$H$ $R$ $\rho$ ）在顶点处的电场强度。

$z$ $\mathrm d z$ $R(H-z)/H$ $\rho \mathrm d z$ 。对顶点处场强的贡献为：

d E = \frac{ρ d z}{2 ε_{0}} (1 - \cos θ)

$\cos \theta=H/\sqrt{R^2+H^2}$ ，为常数，因此：

E = \int_{0}^{H} \frac{ρ d z}{2 ε_{0}} (1 - \cos θ) = \frac{ρ H}{2 ε_{0}} (1 - H / \sqrt{R^{2} + H^{2}})

$\boldsymbol E=E \boldsymbol k$ $\theta$ 不是一个常数。

带电有厚度平板

$a$ $\rho =kx(0 \le x \le a)$ ，求板外场强大小。

$\sigma=\rho \mathrm d x$ ，则：

E = \int_{0}^{a} \frac{σ}{2 ε_{0}} = \int_{0}^{a} \frac{k x d x}{2 ε_{0}} = \frac{k a^{2}}{4 ε_{0}}

高斯定理

电场线

$\boldsymbol E$ 的方向。
$\boldsymbol E$ 的大小，即通过垂直单位面积的电场线条数。
电场线起始于正电荷，终止于负电荷。
电场线不闭合，不相交。

电通量

电通量 的定义，通过电场中任一曲面的电场线条数：

Φ = E S \cos (θ) = E \cdot S

通过任意曲面的电通量如何计算：

Φ = \int d Φ = \int E \cdot d S

高斯定理

高斯定理：定量描述源电荷和电通量的关系。

高斯定理

\oint_{S} E \cdot d S = \frac{1}{ε_{0}} \sum_{i} q_{i} = \frac{1}{ε_{0}} ∭_{V} ρ d V

相对于库伦定理，高斯定理更加根本。

取球面包含点电荷

Φ_{e} = ∯_{S} E \cdot d S = ∯_{S_{0}} \frac{q d S_{0}}{4 π ε_{0} R^{2}} = \frac{q}{4 π ε_{0} R^{2}} \cdot 4 π R^{2} = \frac{q}{ε_{0}}

立体角的定义 $\mathrm d S$ $O$ 点连线形成锥体的顶角。

d Ω = \frac{d S}{r^{2}} \cos θ = \frac{d S_{0}}{r_{0}^{2}}

由库伦定理证明高斯定理

点电荷的情况：

E = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{3}} r

d Φ = E \cdot d S = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{3}} r d S = \frac{q d S \cos θ}{4 π ε_{0} r^{2}} = \frac{q}{4 π ε_{0}} d Ω

\oint_{S} E \cdot d S = \frac{q}{4 π ε_{0}} 4 π = \frac{q}{ε_{0}}

高斯定理的微分形式：

\oint_{S} E \cdot d S = \frac{1}{ε_{0}} ∭ ρ d V

利用数学上的高斯定理：

\oint_{\partial V} E \cdot d S = ∭_{V} \nabla \cdot E d V

得到

\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε_{0}}

对电荷分布具有高度对称的情况，可以借助于高斯定理。

高斯定理的应用

$x$ $l$ ：

Φ_{E} = 2 π x \cdot l \cdot E = \frac{λ l}{ε_{0}}

（顶面和地面的电通量都为 0）

E_{p} = \frac{λ}{2 π ε_{0} x} i

求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径为R，电荷密度为r）

根据 对称性分析，电场分布也应具有球对称性。

| E (r) | = const ， 当 r = const 时

且电场强度方向沿径向。

E = E (r) e_{r}

可以选择以球面为中心的球面为 Gauss 面。

球面为中心：
$E (r) 4 π r^{2} = \oint_{S} E \cdot d S = \frac{ρ 4 π R^{3} / 3}{ε_{0}}$ $E (r) = \frac{ρ R^{3}}{3 ε_{0} r^{3}} r$
$R=r$ ：
$E (r) = \frac{ρ}{3 ε_{0}} r$

无限大均匀带电平面的电场分布（电荷面密度为s）

根据 对称性分析，电场分布应具有（1）沿平面方向的平移对称性，即离开平面相同距离的地方场强大小相等；

（2）对平面的反演对称性，即平面前后相同距离的地方场强大小相等；

（3）电场方向沿垂直于平板平面方向。

遇到有限尺寸的物体，不方便用高斯定理。如果能过拆分成若干具有对称性的物体也可以。

无限大平面挖掉圆盘：

E = \frac{σ}{2 ε_{0}} \cos θ

环流定理电势

电势能怎么求？

先从点电荷做功开始：

E = \frac{F_{e}}{q_{o}} = k_{e} \frac{q}{r^{2}} \hat{r}

$\boldsymbol F=q_0 \boldsymbol E$ .

$\mathrm d \boldsymbol s$ $\boldsymbol F \cdot \mathrm d \boldsymbol s$ .

$A$ $B$ ，比较复杂，则

W = \int_{A}^{B} F \cdot d s . W = q_{0} \int_{A}^{B} E \cdot d s .

电势能改变为：

Δ U = - W = - q_{0} \int_{A}^{B} E \cdot d s

静电场力做功的特点

$\displaystyle \mathrm d A=q_0 \boldsymbol E \cdot \mathrm d \boldsymbol l=\frac{q_0q}{4\pi \varepsilon_0 r^3} \boldsymbol r \cdot \mathrm d \boldsymbol l$ .
$\boldsymbol r = r \boldsymbol e_r$ $\mathrm d \boldsymbol l =\mathrm d r\boldsymbol e_r+\boldsymbol e_\theta r\mathrm d \theta$ $\boldsymbol r \cdot \mathrm d \boldsymbol l=r\mathrm d r$
$\displaystyle \mathrm d A=\frac{q_0q}{4\pi\varepsilon _0r^2}\mathrm d r$ .
$A_{a b} = \int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{q_{0} q}{4 π ε_{0} r^{2}} d r = \frac{q_{0} q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{b}})$
所以是保守场。

$\displaystyle \Delta U = -q_0 \int_A^B \boldsymbol E \cdot \mathrm d \boldsymbol s$ .

$\displaystyle V=\frac{U}{q_0}$ $\displaystyle \Delta V =- \int_A^B \boldsymbol E \cdot \mathrm d \boldsymbol s$ $\displaystyle V_A=\int_A^{电势零点} \boldsymbol E \cdot \mathrm d \boldsymbol s$ .

点电荷电势：

V = \frac{q}{4 π ε_{0} r}

任意带电体的电势：
1. $\displaystyle V = \int_{(P)}^{P(0)} \boldsymbol E \cdot \mathrm d \boldsymbol l$ .
2. $\displaystyle V = \sum_i V_i$
3. $\displaystyle V =\int_{(Q)} \mathrm d V$ $\displaystyle V = \int_{(Q)} \frac{\mathrm d q}{4\pi \varepsilon_0 r}$ .

环路定理：

\oint_{L} E \cdot d l = 0

\nabla \times E = 0

计算均匀带电球面的电势分布。

均匀带电球面的电场分布为：

E = 0, r < R; \frac{Q}{4 π ε_{0} r^{2}}, r > R

当在球内：

V = \frac{Q}{4 π ε_{0} R}

当在球外：

V = \frac{Q}{4 π ε_{0} r}

电势与电场强度的微分关系

等势面 $V(x,y,z)=c$ . 通常约定相邻等势面的电势差为常量。

在直角坐标系中，

E = - (\frac{\partial V}{\partial x} i + \frac{\partial V}{\partial y} j + \frac{\partial V}{\partial z} k) = - \nabla V

在极坐标系中，

d V = \frac{\partial V}{\partial r} d r + \frac{\partial V}{\partial θ} d θ

E \cdot d l = (E_{r} e_{r} + E_{θ} e_{θ}) \cdot (d r e_{r} + r d θ e_{θ}) = E_{r} d r + E_{θ} r d θ

$\displaystyle E_r = -\frac{\partial V}{\partial r},E_\theta = -\frac{\partial V}{r \partial \theta}$ .

\begin{matrix} (1) & E = - (\frac{\partial V}{\partial r} e_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} e_{θ}) \end{matrix}

$r$ $\theta$ $\mathrm d \theta$ $r \mathrm d \theta$ 的长度，因此

E_{θ} r d θ = \frac{\partial V}{\partial θ} d θ \Rightarrow E_{θ} = \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ}

计算电偶极子电场的电势和电场强度

思路一 $r_--r_+ \approx l \cos \theta$ $r_-r_+ \approx r^2$ ：

V = V_{+} + V_{-} = \frac{q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{+}} - \frac{1}{r_{-}}) = \frac{q}{4 π ε_{0}} \frac{r_{-} - r_{+}}{r_{-} r_{+}} = \frac{q l \cos θ}{4 π ε_{0} r^{2}}

$(1)$ $E_r = \cdots, E_\theta = \cdots$ .

E = E_{r} e_{r} + E_{θ} e_{θ} = \frac{1}{4 π ε_{0} r^{3}} [- p + \frac{3 (r \cdot p) r}{r^{2}}]

因此衰减程度是三次方。

思路二：求电场、求电势。

$\boldsymbol F=q\boldsymbol E_++(-q)\boldsymbol E_-$ .

$F=F_+=F_-$ $\boxed{M=Fl\sin\theta=\boldsymbol p \times \boldsymbol E}$ .

$W=W_++W_-=qV_++(-q)V_-=q(V_+-V_-)$ .

- (V_{+} - V_{-}) = E l \cos θ

W = - q E l \cos θ = - p E \cos θ = - p \cdot E

知识点

电学基本概念

电场与电场强度

直线的电场分布

带电圆环

带电圆盘

带电圆锥

带电有厚度平板

高斯定理

电场线

电通量

高斯定理

高斯定理的应用

环流定理 电势

电势与电场强度的微分关系

环流定理电势