Ch13-电流与磁场

电流与电源

在静电场中的导体内部电场强度为零，导体内的自由电子不受电场的作用，因此导体内的自由电子只有无规则的热运动。然而，如果在导体内部维持一个电场强度不为零的电场，导体内的自由电子将在电场的作用下定向运动，但考虑到自由电子的无规则热运动，电子的定向运动实际上是电子在电场强度的反方向上有统计意义的平均漂移，简称为定向漂移运动。这种定向漂移运动的宏观效果就是在导体内产生电流。

如上分析，导体内出现电流的前提是在导体内有电场，而非零静电场是不能存在于导体内部的。当导体内的电流不随时间变化时，称为稳恒电流。稳恒电流的前提是导体内有不随时间变化的稳恒电场。当在导体两端维持一个恒定的电势差时，导体内部就会出现相应的稳恒电场，导体内就会有稳恒电流出现。因此说，稳恒电流的前提是导体内有稳恒电场。除此之外，必须有包括导体在内的闭合回路时，导体内才可能有真正的稳恒电流存在。这是因为，电子在稳恒电场中的运动是从电势低的地方到电势高的地方。如果没有闭合回路，电子会在导体电势高的一端形成积累，而另一端由于电子缺乏而等效地出现正电荷积累。这样，导体两端的电荷积累在导体内产生的电场与稳恒电场方向相反，使得导体内部的总电场越来越弱，电子的运动就不可能稳定，则电流就不可能不变。因此，要在导体内部维持稳恒电流，就必须消除导体两端的电荷积累，通过外力再把电子从电势高的地方移动到电势低的地方。稳恒电场担当不了这个角色，闭合回路中担当这个角色的装置称为电源。

实际上，电源除了能够把电子从电势高的地方移动到电势低的地方外，还可以间接地起到维持导体两端电势差的作用。另外，因为稳恒电场和静电场都不能把电子从电势高的地方移动到电势低的地方，电源中需要有非静电力的作用力作用在电子上。这种力可以是机械的、化学的或磁的作用力。现实的电源有干电池、蓄电池、太阳能电池、燃料电池和发电机等，其中的非静电力也各不相同。

电源的电动势

$\boldsymbol F_k$ $\boldsymbol E_k$ ，为：

E_{k} = \frac{F_{k}}{q}

$q$ 为载流子带电量，电源的电动势定义为：

E = \int_{-}^{+} E_{k} \cdot d l

式中积分上下限的正、负号代表电源的正、负极。则电源电动势的大小就是将 单位正电荷从电源负极移到正极过程中电源中非静电力所做的功。

多个电源存在或者有非静电力的情况：

E = \oint_{l} E_{k} \cdot d l

电流强度与电流密度的定义

无法一一测量每个载流子的位置和运动方向，需要用一个宏观的量，衡量载流子的运动。

$I$ $\mathrm d t$ $\mathrm d q$ ，则导体内的 电流强度 为

I = \frac{d q}{d t}

$\mathrm A$ ）。对于稳恒电流，其电流强度与时间无关。

电流强度只能反映通过导体某截面电流总的强弱，但它并不能反映导体内各点电流的 空间分布情况，包括电流的方向（或载流子运动方向）。

电流密度 $j$ 这个物理量来描述电流的空间分布性质平行于相应空间点稳恒电场的方向 $\boldsymbol j=\boldsymbol j(x,y,z)$ 。导体内某空间点的电流密度的大小定义为单位时间内通过相应空间点附近垂直于电场方向的单位截面的电量，即

j = \frac{d q}{d t d S_{⊥}} = \frac{d I}{d S_{⊥}}

$\mathrm d I$ $\mathrm d S_{\perp}$ $\mathrm{A} \cdot \mathrm{m}^{-2}$ . 电流密度矢量定义为：

j = \frac{d I}{d S_{⊥}} e_{n}

$\boldsymbol e_n$ $\mathrm d S_\perp$ 的法线方向的方向向量，也是相应空间点处的电场强度的方向。

电流强度与电流密度的关系

$\mathrm d \boldsymbol S$ 的电流强度为：

d I = j d S \cos θ = j \cdot d S

通过任意曲面的电流强度：

I = \iint_{S} j \cdot d S

电流连续性方程

$S$ $S$ $S$ $S$ $S$ 内电量的减少。

∯_{S} \vec{j} \cdot d \vec{S} = - \frac{d q_{S 内}}{d t}

$\displaystyle \nabla \boldsymbol j +\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$ .

$\displaystyle \oiint_S=0$ .

电流密度矢量与载流子的平均漂移速度

$q$ $n$ $v_d$ ，则电流密度大小为：

j = \frac{d q}{d t d S_{⊥}} = \frac{n q d S_{⊥} \cdot v_{d} d t}{d t d S_{⊥}} = n q v_{d}

j = n q v_{d}

$q=-|e|<0$ $\boldsymbol j$ $v_d$ 的方向相反。

电流强度：

I_{a v} = Δ Q / Δ t = j A = n q v_{d} A

欧姆电导模型

$v_d \uparrow$ $I_{av}\uparrow$ ，不可能有恒定电流，这里，我们研究加速运动的一段：

v_{f} = v_{i} + (q E / m_{e}) t

假设：

碰撞后的运动轨迹，与上一次碰撞前的运动状态完全无关。
$v_i=0$

v_{f} = (q E / m_{e}) t, \overset{―}{v_{f}} = v_{d} = (q E / 2 m_{e}) t

$\tau$ 为平均相邻的两次碰撞，则：

J = n q v_{d} = (n q^{2} E / 2 m_{e}) τ

导体的电导率：

γ = \frac{n e^{2} τ}{2 m_{e}}

和载流子的质量，电荷密度，平均相邻碰撞时间相关。

则：

J = γ E

磁场的磁感应强度

磁感应强度的定义

$\boldsymbol{B}$ $\mathrm{N}$ $v$ $|\boldsymbol{F}|$ $\theta$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{B}$ 的大小

B = \frac{| F |}{| q | v \sin θ}

$\boldsymbol{B}$ $\mathrm{T}$ $1 \mathrm{T}=1 \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} /(\mathrm{C} \cdot \mathrm{m})$ $\mathrm{G}$ $1 \mathrm{G}=1 \times 10^{-4} \mathrm{T}$ $0.5 \mathrm{G}$ 。

洛伦兹公式

$q$ $\boldsymbol{B}$ 中运动时受到的磁作用力为

F = q v \times B

方向可由右手螺旋法则判定，上式称为 洛伦兹磁力公式。（顺着磁场线方向运动不受力）

磁通量

为了形象化地理解矢量场，通常借助场的可视化方法来描述场。对于磁场，可以用磁感应强度线（简称磁力线）来描述磁场的分布。与电场线的引入方法类似，磁感应强度线上任一点的切线方向和该点处的磁感应强度方向相同，并在线上用箭头标出，而空间某点处通过与磁感应强度垂直的单位面积的磁力线的根数（穿入为负，穿出为正）正比于该处磁感应强度的大小。

$S$ 的磁通量为

Φ_{m} = \iint_{S} B \cdot d S

$\mathrm{T} \cdot \mathrm{m}^{2}$ $\mathrm{Wb}$ 表示。

毕奥-萨伐尔定律

$\displaystyle \boldsymbol r$ $P$ $L$ $P$ 点处的磁感应强度为

B = \int d B = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{L} \frac{I d l \times r}{r^{3}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{L} \frac{I d l \sin θ}{r^{2}}

$k_{\mathrm{m}}$ $\displaystyle k_{\mathrm{m}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}=1 \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{A}$ $\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{A}$ 称为真空磁导率。

电流元可以这么理解：

I d l = S (n q_{e} v_{d}) d l = S (n q_{e} v_{d}) d l = n (S d l) q_{e} v_{d} = v_{d} d q

$\boldsymbol v_d$ $\mathrm d q$ .

常见电流分布的空间磁场

总结

$\displaystyle B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi d}\left(\cos \theta_{1}-\cos \theta_{2}\right)$

$\displaystyle \frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$ $z=0$ $\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2R}$ .

$\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2R} \frac{\theta}{2\pi}$ .

$\displaystyle \frac{\mu_0 nI}{2}(\cos \beta_2-\beta_1)$ $\mu_0 nI$ .

直线电流

B = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{I d z \sin θ}{r^{2}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{I \sin θ}{(d / \sin θ)^{2}} \cdot \frac{d}{\sin^{2} θ} d θ = \frac{μ_{0} I}{4 π d} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \sin θ d θ = \frac{μ_{0} I}{4 π d} (\cos θ_{1} - \cos θ_{2})

$\theta_1 \to 0,\theta_2 \to \pi$ ，得到：

B = \frac{μ_{0} I}{2 π d}

载流圆线圈上

\begin{aligned} B & = \int d B_{z} \\ = \frac{μ_{0} I}{4 π} \int \frac{d l \sin α}{r^{2}} \\ = \frac{μ_{0} I}{4 π r^{2}} \sin α \int_{0}^{2 π R} d l \\ = \frac{μ_{0} I R^{2}}{2 (R^{2} + z^{2})^{3 / 2}} \end{aligned}

$z=0$ $B=\mu_0 I/2R$ .

$r\gg R,z \gg R$ 时，

B \approx \frac{μ_{0} I R^{2}}{2 z^{3}}

$\boldsymbol m=NIS \boldsymbol e_n=N \pi R^2 I \boldsymbol e_n$ ，则：

B = \frac{μ_{0} m}{2 π z^{3}}

给出了磁场强度和磁矩的关系。

$\boldsymbol p=q\boldsymbol l$ $\displaystyle \boldsymbol E=\frac{\boldsymbol p}{2\pi \varepsilon _0 r^3}$ 相似。

载流直螺线管

$\beta_2 \to 0$ $\beta_1 \to \pi$ $B=\mu_0 nI$ $B=0$ .

$\beta_1 \to \frac{\pi}{2},\beta_2 \to 0$ $B=\mu_0 nI/2$ .

有限长螺线管两端的电场强度，是中间的一半。

运动电荷产生的磁场

B = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{q v \times r}{r^{3}}

磁场中的定理

高斯定理

∯_{S} B \cdot d S = 0 v . s . ∯ D \cdot d S = \sum q_{i}

$\boldsymbol B$ 无头无尾。

磁场与电场不同等的原因：自然界无磁单极。

安培环路定理

\oint_{L} E \cdot d l = 0 v . s . \oint_{L} B \cdot d l = μ_{0} \sum I_{i}

证明：

$\displaystyle \oint_L \boldsymbol B\cdot\mathrm d \boldsymbol l=\mu_0 I$ .
一根导线、环路在垂直于导线平面取任意回路的情况：

$\boldsymbol B\cdot \mathrm d \boldsymbol l=B\mathrm d l\cos \theta$ $\cos\theta \mathrm d l$ $r\mathrm d \varphi$ ，则：

\oint_{L} B \cdot d l = \oint_{L} B \cos θ d l = \oint_{L} B r d φ = \frac{μ_{0} I}{2 π r} \int_{0}^{2 π} d φ = μ_{0} I

若闭合曲线不在垂直于导线的平面内，投影即可：

若环路不包围电流，则积分结果为零。

安培环路定理 $\mu_0$ 倍。

\oint_{L} B \cdot d l = μ_{0} \sum I_{i}

用右手螺旋定则确定回路包围电流的正负：如果穿过回路的电流与回路绕向成右旋关系，规定电流强度为正；反之为负。

安培环路定理的应用

做题步骤：

分析磁场的对称性：同心圆上磁感应强度相等。
无限长直线电流、均匀圆柱面电流、均匀圆柱电流；
无限长密绕螺线管；无限大载流平面。
根据磁场的对称性，选择安培环路，使得环路上磁感应强度大小恒等。
有时还可以灵活运用叠加原理和补偿法，这里叠加原理注意是矢量叠加。

无限长圆柱面电流

\oint_{l} B \cdot d l = B \cdot 2 π r = μ_{0} I

（只有面上有电流）

\begin{matrix} B = {\begin{aligned} \frac{μ_{0} I}{2 π r} & , r > R \\ 0 & , r < R \end{aligned} \end{matrix}

无限长圆柱体电流

$r<R$ 时，情况有所不同：

\oint_{l} B \cdot d l = B \cdot 2 π r = μ_{0} I \cdot \frac{π r^{2}}{π R^{2}}

\begin{matrix} B = {\begin{aligned} \frac{μ_{0} I}{2 π r} & , r > R \\ \frac{μ_{0} I r}{2 π R^{2}} & , r < R \end{aligned} \end{matrix}

$j=I/\pi R^2$ $\mu_0 jr/2$ .

螺线管

$B$ 恒等，而管外无磁场强度，因此，选择矩形的安培环路。

B \cdot M N = μ_{0} n \cdot M N \cdot I

$n$ $N/L$ ，因此：

B = μ_{0} n I = μ_{0} N I / L

螺绕环

环内：

\oint_{l} B \cdot d l = B \cdot 2 π R = μ_{0} N I

因此，

B = \frac{μ_{0} N I}{2 π R} = μ_{0} n I

和；螺线管的结论一样。

$B=0$ .

无限大均匀平面电流

$\alpha$ $\mathrm d l$ $\alpha \mathrm d l$ .

分析磁场强度的分布：

$y$ 分量相互抵消，因此上下部分磁场强度都平行于平面。
因为平面无限大，所以上方距离平面相等的地方，磁场强度恒等。
根据对称性，下方磁场强度和上方磁场强度相反。

因此，可以取如图的安培环路，ad, cb 对积分贡献为零，而 cd, ab 相等：

2 \int_{l_{1}} B \cdot d l_{1} = μ_{0} α l_{1}

推出：

B = \frac{μ_{0} α}{2}

$B=\mu\alpha$ $B=0$ .

叠加原理的应用

$j$ 。如图。

B = \frac{μ_{0}}{2} j \times r_{1} + \frac{μ_{0}}{2} (- j) \times r_{2} = \frac{μ_{0}}{2} j (r_{1} - r_{2}) = \frac{μ_{0}}{2} j d

因此，内部为均匀场。类比于一个带电球里面挖掉一个小球。

磁场对载流导线的作用

$\boldsymbol f=q\boldsymbol v\times \boldsymbol B$ $\mathrm d l$ $S$ $n$ $nS \mathrm d l$ .

因此，作用在电流元上的作用力为：

d F = (n S d l) f = n S d l (q v \times B) = n S d l (q v \times B)

$I=qnvS$ ，可得：

d F = I d l \times B

因此，磁场对载流导线的作用力：

F = \int_{L} I d l \times B

$\mathrm d \boldsymbol l$ $\boxed{\boldsymbol F=I\boldsymbol L \times \boldsymbol B}$ .

$I_1$ $L$ $I_2$ $\alpha$ ，求其受力。

$x$ 处磁场强度：

2 π x B (x) = μ_{0} I_{1} \Rightarrow B (x) = \frac{μ_{0} I_{1}}{2 π x}

然后

\begin{matrix} F = \int_{L} I d l \times B = \int_{L} I_{2} d x / \cos α \cdot \frac{μ_{0} I_{1}}{2 π x} \\ = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{2 π \cos α} \int_{r}^{r + L \cos α} \frac{d x}{x} = \frac{μ_{0} I_{1} I_{2}}{2 π \cos α} \ln \frac{r + L \cos α}{r} \end{matrix}

方向垂直于导线。

$R$ $I$ $B$ 中，求受到张力。

右半线圈受到磁场力：

F = \int_{- π / 2}^{π / 2} I d l \times B = \int_{- π / 2}^{π / 2} I R d θ \times B = I R B \int_{- π / 2}^{π / 2} \cos θ i + \sin θ j = 2 I R B i

$T_1=T_2=IRB$ .

$(B_1+B_2)/2$ $(B_1-B_2)/2=\mu_0 \alpha/2$ ，因此，

α = \frac{B_{1} - B_{2}}{μ_{0}}

$l$ $B_1 l -B_2 l =\mu_0 \alpha l$ .

方向朝外，磁压强的定义：

p = \frac{d f}{d l_{1} d l_{2}} = \frac{α d l_{1} d l_{2} \times B_{0}}{d l_{1} d l_{2}} = \frac{1}{2 μ_{0}} (B_{1}^{2} - B_{2}^{2})

载流线圈受到的磁力矩

$F_3=BIl_1 \sin (\pi-\theta)=BIl_1\sin\theta$ $F_3=F_4$

$F_1=F_2=BIl_2$ .

因此磁力矩：

M = F_{1} l_{1} \cos θ = F_{1} l_{1} \sin φ = B I l_{1} l_{2} \sin φ = B I S \sin φ

$\varphi$ $B$ 的夹角。令磁矩：

m = N I S n = N I S

则

M = m \times B

对于 不规则线圈，总力矩：

M = \int d M = \int d m \times B = (\int I d S n) \times B = (I S n) \times B = m \times B

因此，适用于任意形状的载流线圈。

磁力的功

磁力对运动载流导线做的功

A = F Δ x = B I L Δ x = B I Δ S = I Δ Φ_{m}

载流线圈在磁场中转动时磁力矩的功

d A = - B I S \sin φ d φ

d A = I B S d (\cos φ) = I d (B S \cos φ) = I d Φ_{m}

$A=I\Delta \Phi_m$ .

霍尔效应

F_{m} = q v B, F_{e} = q E, F_{e} = F_{m} \Rightarrow E = v B, U = E b = v B b

$I=qnvS=qnvbd$ $v=I/(qnbd)$ ，因此：

U_{H} = \frac{1}{q n} \frac{I B}{d}

$\displaystyle R_H=\frac{1}{qn}$ ，霍尔电势差：

U_{H} = R_{H} \frac{I B}{d}

测量弱磁场比较好用，还可以通过确定霍尔系数知道载流子类型和载流子浓度。