功与能

牛顿第二定律分析了物体运动的过程。但是想要分析力的累积效应，从空间和时间的角度来看，对物体运动状态的改变。

力的时间积累：冲量。
力的空间积累：做功。

F = m a = m \frac{d v}{d t}

F = m \frac{d v}{d t} \Rightarrow m d v = F d t

时间积累效应。

\begin{matrix} \int_{t_{a}}^{t_{b}} F d t \\ \int_{t_{a}}^{t_{b}} F \cdot d r \end{matrix}

功质点动能定理

功

衡力的功：

A = F \cdot Δ r

变力的功：

A = F Δ r \cos θ

A = \int_{a}^{b} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F \cos α d s

路径积分。积分有没有近似？位移与参考系有关系。

摩擦力做功：

\begin{matrix} F_{f} = - μ m g e_{t} \\ A = \int_{a}^{b} F_{f} \cdot d r = - F_{f} S_{a b} \end{matrix}

摩擦力做功与路径有关。

动能定理

F \cdot d r = m \frac{d v}{d t} \cdot d r = m \frac{d v}{d r} \frac{d r}{d t} \cdot d r = m v \cdot d v = m d (\frac{1}{2} v \cdot v)

$\frac{1}{2} m v^2$ 。kinetic energy.

d A = F \cdot d r = m d (\frac{1}{2} v \cdot v) = d E_{k}

A_{a b} = \int_{a}^{b} F \cdot d r = \int_{a}^{b} d E_{k} = E_{k b} - E_{k a}

动能定理只在惯性系中成立。

$E_k$ 。自然界的动能是不是？

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = m c^{2} - m_{0} c^{2}

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}

本来的面目。

功率

P = \frac{d A}{d t} = F \cdot v

保守力非保守力耗散力

力场

F = F (r, t, v)

当质点所受的力仅与位置有关，即

F = F (r)

时，代表了质点受力的空间分布，称为力场。

有心力 始终通过以固定的点的力。

F = F (r) = f (r) e_{r}

库仑力和万有引力，弹性力。力的方向容易定。

有心力的功：

\int_{A}^{B} F_{1} \cdot Δ r_{1} = \int_{A}^{B} f (r) | Δ r_{1} | \cos θ_{1} = \int_{A}^{B} f (r) Δ r

沿着任意闭合回路做功均为 0。

万有引力

F = - \frac{G M m r}{r^{3}}

在极坐标系中：

\begin{matrix} r = r e_{r} \\ d r = d r e_{r} + r d θ e_{θ} \\ \Rightarrow r \cdot d r = r d r \end{matrix}

\int_{A}^{B} F \cdot Δ r = \int_{A}^{B} - \frac{G M m r}{r^{3}} \cdot d r = \int_{A}^{B} - \frac{G M m}{r^{2}} d r = - \frac{G M m}{r_{A}} + \frac{G M m}{r_{B}}

弹性力

A = \int F \cdot d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} - k x i \cdot d x i = - \int_{x_{1}}^{x_{2}} k x d x = \frac{1}{2} k x_{1}^{2} - \frac{1}{2} k x_{2}^{2}

惯性离心力

回旋力

\begin{matrix} F = β r e_{θ} \\ A = \int_{a}^{b} F \cdot d r \end{matrix}

摩擦力

一对摩擦力 所做总功与参考系无关。

一对力的功 作用力和反作用力。

\begin{matrix} A = \int_{A_{1}, B_{1}}^{A_{2} B_{2}} f_{12} \cdot d r_{1} + f_{21} \cdot d r_{2} = \int_{A_{1}, B_{1}}^{A_{2} B_{2}} f_{21} \cdot d (r_{2} - r_{1}) \\ = \int_{A_{1}, B_{1}}^{A_{2} B_{2}} f_{21} \cdot \underset{元 相 对 位 移}{\underset{⏟}{d r_{21}}} \end{matrix}

$1$ 为参考系：

A = \int_{A_{1}, B_{1}}^{A_{2} B_{2}} f_{21} \cdot d r_{2}

一对力的做功于参考系无关。

\begin{matrix} r = r_{o} + r^{'} \\ d r_{1} = d r_{o} + d r^{'} \\ d r_{2} = d r_{o} + d r^{'} \\ d r_{21} = d r_{2} - d r_{1} = d r_{21}^{'} \end{matrix}

关键是相对。选物体 1 为参考系。

注：无相对位移或相对位移与一对力垂直。

保守内力 $A_{ab}=-(E_p(\boldsymbol r_b)-E_p(\boldsymbol r_a))$

重力是地球与人之间做的功。

\int_{A_{1}, B_{1}}^{A_{2} B_{2}} \overset{垂 直}{\overset{⏞}{f_{21} \cdot \underset{= 0}{\underset{⏟}{d r_{21}}}}}

考虑一对力做功之和 e.g. 支持力，传送带上摩擦力。

保守力判据

\begin{matrix} \oint F \cdot d r = {\begin{matrix} = 0 & F conservative \\ \neq 0 & F non - conservative \\ < 0 & F dissipative \end{matrix} \end{matrix}

\nabla = e_{x} \frac{\partial}{\partial x} + e_{y} \frac{\partial}{\partial y} + e_{z} \frac{\partial}{\partial z} : gradient operator

Stokes 公式：

\oint_{L} F \cdot d r = \iint (\nabla \times F) \cdot d S

质点在保守力场中的势能

引入势能

势能的引入 $a,b$ $E_{pa},E_{pb}$ $a$ $b$ $A_{ab}$ 。

E_{p a} - E_{p b} = A_{a b}

保守力做的功等于系统势能的减少。

引力场

\underset{E_{p B}}{\underset{⏟}{(- \frac{G m M}{r_{B}})}} + E_{k B} = \underset{E_{p A}}{\underset{⏟}{(- \frac{G m M}{r_{A}})}} + E_{k A}

总是相等的。是一个不变量。在保守力场中，质点的动能可以以“势能”的形式保存起来，也可以通过做功的方式再释放出来称为对外做功的“动能”。

A_{A \to B} = - (E_{p B} - E_{p A})

势能还可以有一个常量的差别，如引力势能：

E_{p} = - \frac{G m M}{r} + Const \Rightarrow E_{\infty} = 0, E_{p} = - \frac{G m M}{r}

重力势能 $z_b=0$ $E_{pb}=0$ $E_p=mgz$

引力势能 $r_b=\infin$ $E_{pb}=0$ $E_p=-\frac{GMm}{r}$

弹性势能 $x_b=0$ $E_{pb}=0$ $E_p=\frac{1}{2} kx^2$

离心力的势能 $E_p=-\frac{1}{2}m\omega^2r^2$

E_{p} + m g h = 0

推出

h = \frac{ω^{2} r^{2}}{2 g}

保守力和势能的关系

积分关系

E_{p} (r) = \int_{p}^{p_{o}} F (r) \cdot d r

微分关系

d A = - d E_{p} (r) = - d E_{p} (x, y, z)

d A = F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z

全微分：

d E_{p} = \frac{\partial E_{p}}{\partial x} d x + \frac{\partial E_{p}}{\partial y} d y + \frac{\partial E_{p}}{\partial z} d z

F_{x} = - \frac{\partial E_{p}}{\partial x} F_{y} = - \frac{\partial E_{p}}{\partial y} F_{z} = - \frac{\partial E_{p}}{\partial z}

需要对应相等。

F = - (\frac{\partial E_{p}}{\partial x} i + \frac{\partial E_{p}}{\partial y} j + \frac{\partial E_{p}}{\partial z} k) = - \nabla E_{p}

总结：

保守力做的功等于势能的减少；
保守力为势能函数的梯度负值。

势能曲线

定性分析力。

$z$ 轴负方向。

引力越远越小。

定性分析物体运动情况。

$v_r$ ，代表地球离太阳的距离的变化速率。因此，这样可以研究地球和太阳距离的变化情况。

\begin{aligned} \underset{守 恒 ， 拉 格 朗 日 量}{\underset{⏟}{E}} & = \frac{1}{2} m v^{2} + (- \frac{G M m}{r}) \\ = \frac{1}{2} m (v_{r}^{2} + v_{θ}^{2}) + (- \frac{G M m}{r}) \\ = \frac{1}{2} m {(\frac{d r}{d t})}^{2} + \underset{有 效 势 能}{\underset{⏟}{\frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{G M m}{r}}} (L 守 恒) \end{aligned}

\frac{2 (E - v_{eff})}{m} = {(\frac{d r}{d t})}^{2}

\frac{d r}{d θ} = \underset{f (r)}{\underset{⏟}{\frac{d r}{d t}}} / \frac{d θ}{d t}

补充：有心力的性质

有心力必为保守力。
$\boldsymbol L$ 守恒。
质点所受的力矩为
$M = r \times F = r \times \frac{F}{r} r = 0$
（叉乘的性质）
有心力场的质点始终在一垂直于其相对于力心的角动量的平面内运动。
$r \cdot L = r \cdot (r \times p) = p \cdot (r \times r) = 0$
（混合积的性质）

角动量定理，在 万有引力场 中，角动量守恒，也就是：

L = r \times p = r \times (m v) = r \times (m v_{r} + m v_{θ}) = r \times m v_{θ}

| L | = | m v_{θ} r |

L = m v_{θ} r = m ω r^{2} \Rightarrow \frac{d θ}{d t} = \frac{L}{m r^{2}}

$E<0$ 束缚体系
$E>0$ 开放体系

计算过程，首先，得出

\frac{d r}{d θ} = \frac{r \sqrt{2 E m r^{2} + 2 G M m^{2} r - L^{2}}}{L} = F (r)

\int_{0}^{r_{0}} \frac{d r}{F (r)} = \int_{0}^{θ_{0}} d θ

$2Em$ $a$ $2GMm^2$ $b$ $-L^2$ $c$ ，进行积分：

L \int_{0}^{r_{0}} \frac{1}{r \sqrt{a r^{2} + b r + c}} d r . . . (1)

这其实可以使用高数中学过的 倒置换，然后配合三角换元解决，结果是：

θ (r) = L \frac{asinh ((b + 2 c \frac{1}{r}) \sqrt{\frac{1}{4 a c - b^{2}}})}{\sqrt{c}}

$i$ 即可。

进一步化简，得到：

θ (r) = - i asinh ((b + 2 c \frac{1}{r}) \sqrt{\frac{1}{4 a c - b^{2}}})

\cosh (θ (r)) = - (b + 2 c \frac{1}{r}) \underset{d}{\underset{⏟}{\sqrt{\frac{1}{- 4 a c + b^{2}}}}}

\frac{1}{r} = - \frac{\cosh (θ (r))}{2 c d} - \frac{b}{2 c}

这已经是椭圆曲线的形式，为了获得其对应通式的系数，对椭圆曲线的通式做如下变形：

r = \frac{p}{1 + ε \cos θ} \frac{1}{r} = \frac{ε}{p} \cos θ + \frac{1}{p}

计算得到，

p = \frac{L^{2}}{G M m^{2}} ε = \frac{\sqrt{2 E L^{2} + G^{2} M^{2} m^{3}}}{G M m^{\frac{3}{2}}} = \sqrt{1 + \frac{2 E L^{2}}{G^{2} M^{2} m^{3}}}

$\varepsilon <1$ $\varepsilon >1$ $\varepsilon =1$ $\varepsilon=0$ 时为圆。

对结果的粗略验证

$E=0$ $\varepsilon$ $1$ ，轨迹为抛物线。
$\varepsilon =0$ ，则算出
$E = - \frac{G^{2} M^{2} m^{3}}{2 L^{2}} = - \frac{G^{2} M^{2} m^{3}}{2 m^{2} v^{2} R^{2}} = - \frac{G M m}{2 R}$
恰为匀速圆周运动的总机械能。

补充的讨论

$(1)$ $0$

\int \frac{1}{\sqrt{t^{2} + x^{2}}} d x = \ln (x + \sqrt{t^{2} + x^{2}}) + C = asinh (\frac{x}{t}) + C

$0$

\int \frac{1}{\sqrt{t^{2} - x^{2}}} d x = \arcsin (\frac{x}{t}) + C

在以上的过程中，我们默认能量处于最低势能以上的位置。

$b^2-4ac>0$ ，

E < - \frac{G M m}{2 r}

两个星体就会发生撞击。在极坐标中描点作图如下。

质点系的势能

一对内力做功

多质点系统的势能

E_{p} = \sum_{i < j} E_{p i j}

$E_{\mathrm p ij}$ $i$ $j$ 之间的相互作用势能。

功能原理能量守恒定律

质点系的动能定理

$i$ $A_{i\mathrm e}$ $A_{i\mathrm I}$ $v_{i0}$ $v_i$ 。

$\mathrm{CI}$ $\mathrm{NI}$ 代表非保守。

A_{CI} = - (E_{p} - E_{p 0}) = - Δ E_{p}

A_{e} + A_{NI} = (E_{k} + E_{p}) - (E_{k 0} + E_{p 0})

$\Delta E_k$ 代表内力和外力做功之和，引力、摩擦力之类的内力，也会改变动能。

说明

明确系统初末态。
适用于惯性系。
机械能守恒定律。

$A_{\mathrm{CI}}>0$ $A_{\mathrm{CI}}<0$ ，动能转化为势能，各质点之间的机械能也可以互换，但保持系统的总机械能不变。

$A_{\mathrm{NI}}$ $A_\mathrm e$ 与参照系有关。

$A_\mathrm e=0$ $A_{\mathrm{NI}}=\Delta E$ 。能量转换和守恒定理。

$A_{\mathrm{NI}}<0 \quad \Delta E >0$ 其他形式的能量转化为机械能。
$A_{\mathrm{NI}}<0 \quad \Delta E<0$ 机械能转化为其他形式的能量。

对于孤立系统，系统的总能量不变。

质点系动能定理

A = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} - \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i 0}^{2}

$A$ 代表内力和外力做功之和，为什么，因为内力也有摩擦力，消耗能量。而质点系运动定律和动量定律内力都可以互相抵消，因此，不算内力。

能量不守恒的情况

摩擦力作用。速度突变。

习题

常见的解题方法：初末态，有无他力的功、正负号。

例 3-4

$h$ $F_b=\rho_1 g h S$ $S$ $F_g=\rho_2 l gS$ 。

$F_b=F_g$ $h=\frac{\rho_2 l}{\rho_1}$ 时，速度最大。使用动能定理：

\frac{1}{2} (ρ_{2} l S) v_{m}^{2} = ρ_{2} l h g S - \frac{1}{2} ρ_{1} g h^{2} S

因此

v_{m} = \sqrt{\frac{ρ_{2} l g}{ρ_{1}}}

$0$ ，而且注意到棒全部没入液体。

ρ_{2} l H g S - \underset{棒 全 部 没 入 液 体 时}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} ρ_{1} g l^{2} S}} - \underset{排 开 液 体 的 质 量}{\underset{⏟}{ρ_{1} S l}} \cdot g (H - l) = 0

得到

H = \frac{ρ_{1}}{ρ_{1} - ρ_{2}} \cdot \frac{l}{2}

$\rho_1/2 > \rho_2$ $\rho_1<\rho_2$ ，则下沉具有向下加速度，不会有最大速度和最大深度。

功 质点动能定理

功