动量

动量定理动量守恒定律

p = m v p = M v_{c}

牛顿第二定律：

F = \frac{d (m v)}{d t} \Rightarrow F = m \frac{d v}{d t} = m a

$\boldsymbol I = \boldsymbol F (t_2-t_1)$ 。

$\boldsymbol I = \int_{t_0}^t \boldsymbol F \cdot \mathrm d t$ 。（是否可行）

因此，质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。质点动量定理

I = \int_{0}^{t} F d t = p - p_{o} = m v - m v_{0}

冲击、碰撞问题中估算 平均冲力。

作用时间短，变化复杂，无法通过力计算冲量。

\overset{―}{F} = \frac{I}{Δ t} = \frac{1}{t - t_{0}} \int_{t_{0}}^{t} F \cdot d t = \frac{p - p_{0}}{t - t_{0}}

适用于 惯性系，在非惯性系中，只有添加惯性力的冲量后才成立。

\sum N Δ t = m v_{1} \sin θ - \sum μ N Δ t = m v_{2} - m v_{1} \cos θ

遇到斜面的问题，还要注意运动方向的改变，如果只用分析水平方向的动量守恒，也要注意水平方向分速度的改变。

需要注意不要忘了重力。

动量守恒定律

$\sum F_i=0$ $\boldsymbol p=\sum m_i\boldsymbol v_i=const$ .

$M$ $n$ $m$ $u$ 向后跳离。

若所有人同时跳离，平板车的最终速度为多少？
根据动量守恒定律（一开始动量为0，则改变状态后动量为0）
$0 = M v + n m (- u + v) \Rightarrow v = \frac{n m u}{M + n m}$
若一个一个地跳离，平板车的最终速度又为多少？
第一个人跳离时，有：
$0 = [M + (n - 1) m] v_{1} + m (- u + v_{1}) \Rightarrow v_{1} = \frac{m u}{M + n m}$
第二个人跳离时，有：
$[M + (n - 1) m] v_{1} = [M + (n - 2) m] v_{2} + m (- u + v_{2}) \Rightarrow v_{2} - v_{1} = \frac{m u}{M + (n - 1) m}$
第三个人跳离时，有：
$[M + (n - 2) m] v_{2} = [M + (n - 3) m] v_{3} + m (- u + v_{3}) \Rightarrow v_{3} - v_{2} = \frac{m u}{M + (n - 2) m}$
因此
$v_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{m}{M + k m} > \frac{n m}{M + n m}$
$v_i$ 不好处理，可以考虑差分的形式，当然也可以归纳得出。

质点系动量

$N$ $i$ $m_i$ $\boldsymbol f_i$ $\boldsymbol F_i$ $\boldsymbol v_{i0}$ $\boldsymbol v_i$ 。

由质点动量定理：

\int_{t_{0}}^{t} (F_{i} + f_{i}) d t = m_{i} v_{i} - m_{i} v_{i 0}

一对内力做功不一定为 0。

$\sum \boldsymbol f_i=0$ 。

因此

\int_{t_{0}}^{t} \sum F_{i} d t = p - p_{0} = Δ p

微分式：

\sum F_{i} = \frac{d p}{d t}

形式上，与单个质点动量定理相同，但内涵有差别。

$\sum \boldsymbol F_i=0$ $\boldsymbol p = \sum m_i \boldsymbol v_i$ 为常量。

动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化, 通过内力进行传递和交换。
当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）

$m_1$ $m_2$ $l$ 。问他们在何处相遇？

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = 0

$m_1v_1=m_2v_2$ 。

在任意时刻

\begin{matrix} x_{1} = x_{10} + \int_{0}^{t} v_{1} d t x_{2} = x_{20} + \int_{0}^{t} v_{2} d t \\ x_{20} - x_{10} = \int_{0}^{t} (1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}) v_{1} d t \\ l = \int_{0}^{t} (1 + \frac{m_{1}}{m_{2}}) v_{1} d t \\ x = x_{1} = x_{10} + \int_{0}^{t} v_{1} d t = \frac{m_{1} x_{10} + m_{2} x_{20}}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}

以质量为权重的位置。

$M$ $m$ $\mu$ $u$ $v$ 。

对系统分析

$\tau$ 的时间内，

\int_{0}^{τ} \sum F_{i} d t = \int_{0}^{τ} (M g + m g + N + f) d t = Δ p = M v + m (v + u) - 0

$x,y$ $\int \boldsymbol |f|=\mu \int \boldsymbol |N|$ 。

则可以得到

\begin{matrix} \int_{0}^{τ} f d t = - M v + m (- v + u \cos θ) \\ \int_{0}^{τ} (N - M g - m g) d t = m u \sin θ \Leftrightarrow \int_{0}^{τ} N d t = m u \sin θ \end{matrix}

$(Mg+mg)\tau$ $mu\sin\theta$ ），因此可以略去。

得到

v = \frac{m u (\cos θ - μ \sin θ)}{M + m}

如果没有摩擦，相当于水平方向动量守恒。

如果水平发射炮弹，相当于碰撞的逆过程。

$\cot \theta=\mu$ $\cot\theta<\mu$ ，炮车会发生自锁现象，不会移动，当然不会速度反向…

质心质心运动定理

质心

考虑两个质点组成的孤立体系。

\begin{aligned} P & = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} \\ = m_{1} \frac{d r_{1}}{d t} + m_{2} \frac{d r_{2}}{d t} \\ = \frac{d}{d t} (m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}) \\ = (m_{1} + m_{2}) \frac{d}{d t} (\frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}}{m_{1} + m_{2}}) \\ = Const \end{aligned}

定义：

\begin{matrix} r_{c} := \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ v_{c} := \frac{d r_{c}}{d t} \\ M := m_{1} + m_{2} \end{matrix}

则

P = M v_{c}

$n$ 个粒子系统。

r_{c} := \frac{\sum_{i} m_{i} r_{i}}{\underset{M}{\underset{⏟}{\sum_{i} m_{i}}}}

对于连续分布的物体：

r_{c} = \frac{lim_{max {Δ m_{i}} \to 0} \sum_{i = 1}^{N} Δ m_{i} r_{i}}{lim_{max {Δ m_{i}} \to 0} \sum_{i = 1}^{N} Δ m_{i}} = \frac{∭_{τ} r d m}{∭_{τ} d m}

其中

d m = ρ d V = σ d S = λ d l

质心运动定理

质心运动定理：质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。

M v_{c} = \sum_{i} m_{i} v_{i}

所有的参考系都成立。参考系存在质心上。

r_{c} \equiv 0 \Rightarrow v_{c} = 0 \Rightarrow \sum_{i} m_{i} v_{i} = 0

a_{c} = \frac{d v_{c}}{d t} = \frac{d}{d t} (\sum_{i} m_{i} v_{i} / M) = \sum_{i} F_{i} / M

F = M a_{c}

只描述平动。

适用于 惯性系。

$\boldsymbol a_c=0$ ，则质心系为惯性系。

$\boldsymbol a_c \not=0$ ，质心系为非惯性系。

动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系成立。质点系相对惯性系的运动可以分解为：随质心的运动+相对质心的运动。

v_{i} = v_{c} + v_{i}^{'}

\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} M v_{c}^{2} + \underset{= 0}{\underset{⏟}{\sum_{i} v_{c} \cdot m_{i} v_{i}^{'}}} + \underset{资 用 能}{\underset{⏟}{\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{' 2}}}

只有在质心系中成立。

(\frac{\sum_{i} m_{i} v_{i}^{'}}{M}) \cdot v_{c} M

$0$ 。

$\displaystyle \frac{1}{2}Mv_c^2 =\mathrm{Const}$ ，则资用能为常数。

$\sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2$ $\sum_{i}\frac{1}{2} m_iv_i'^2$ $v_c$ 最小，对撞。

质心的特性

质心系的动量为0。内力的冲量和为0。内力的力矩和为0。

速度、加速度的分解：相对于质心的速度、加速度+质心的速度、加速度。

动量的分解：没有分解，就是质心整体的动量。

角动量的分解：相对于质心的角动量+质心的动量。

质心系下功能原理/角动量定理守恒是适用的。

碰撞问题

碰撞是自然界中十分普遍的现象。

两者有可能结合在一起，或产生新的成分。

相互作用强。
力的形式复杂
无法直接测量和记录碰撞过程

处理碰撞的物理定律是动量守恒。

弹性碰撞 碰撞后的物体和碰撞前相同，而且物体内部状态无变化。能量相同。碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。

非弹性碰撞 碰撞后的物体与碰撞前不相同，或物体内部状态有变化。碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。

完全非弹性碰撞 碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动，沿着碰撞方向的速度相等。系统有机械能损失。

$\Leftrightarrow$ 散射

\begin{matrix} {\begin{matrix} m_{1} v_{10} + m_{2} v_{20} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} \\ \frac{1}{2} m_{1} v_{10}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{20}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} {\begin{matrix} v_{1} = \frac{(m_{1} - m_{2}) v_{10} + 2 m_{2} v_{20}}{m_{1} + m_{2}} \\ v_{2} = \frac{(m_{2} - m_{1}) v_{20} + 2 m_{1} v_{10}}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix} \end{matrix}

$m_1=m_2$ 时，交换速度。
$v_{20}=0$ $m_2 \gg m_1$ 撞墙调转运动方向。
$v_{20}=0$ $m_2 \ll m_1$ $v_1\approx v_{10},v_2 \approx 2v_{10}$ 。

$(v_2-v_1)$ $(v_{10}-v_{20})$ 成正比。比值由材料决定。恢复系数的定义：沿着碰撞方向的前后相对速度之比。

e = \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{10} - v_{20}}

$e=1$ $0<e<1$ $e=0$ 。

碰撞后两球的速度

\begin{matrix} v_{1} = v_{10} - m_{2} \frac{(1 + e) (v_{10} - v_{20})}{m_{1} + m_{2}} \\ v_{2} = v_{20} + m_{1} \frac{(1 + e) (v_{10} - v_{20})}{m_{1} + m_{2}} \end{matrix}

机械能损失

Δ E_{k} = - \frac{1}{2} (1 - e^{2}) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (v_{10} - v_{20})^{2}

$e=0$ ，代表完全非弹性碰撞，令折合质量

μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

Δ E_{k} = - \frac{1}{2} μ (v_{10} - v_{20})^{2}

接近速度。

对于二维碰撞，如果给出散射角，就能唯一确定。

恢复系数的物理意义：

e = \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{10} - v_{20}} = \frac{恢 复 阶 段 冲 量}{压 缩 阶 段 冲 量}

压缩阶段

\frac{I_{1}}{m_{2}} = v - v_{20} \frac{I_{1}}{m_{1}} = v_{10} - v I_{1} (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}) = v_{10} - v_{20}

恢复阶段

I_{1} (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}) = v_{2} - v_{1}

$e<0,e>1$ 的情况

质心系中，在碰撞前后两质点的动量始终大小相等，方向相反。

$m_1$ $u$ $m_2$ $u$ $\theta$ $m_1$ $m_2$ $m_2$ $e$ 。求碰撞后两球的速度。

$x,y$ $y$ 方向速度不变，可以隔离分析，只用分析一个一维的运动）

\begin{matrix} m_{1} v_{1 x} + m_{2} v_{2} = m_{1} u \cos θ \\ - m_{1} v_{1 y} = - m_{1} u \sin θ \end{matrix}

恢复系数

e = \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{10} - v_{20}} = \frac{v_{2} - v_{1 x}}{u \cos θ}

$v_x=v_0,v_y=\sqrt{2gh}$ ，碰撞后（以竖直向上为正方向）

v_{M} = \frac{m - M}{m + M} v_{y} v_{m y} = \frac{2 m}{m + M} v_{y}

$M$ $M$ 的重力，得到

\frac{1}{2} M v_{M}^{2} = \frac{1}{2} k x^{2}

因此，

x = \sqrt{\frac{M}{k}} v_{M} = \frac{2 m}{m + M} \sqrt{\frac{2 M g h}{k}}

只发生一次碰撞，应该正好在板子的边缘离开板子。

变质量物体的运动

运动主体+抛（吸）物体

$t$ $\boldsymbol P(t)$ $t+\Delta t$ $\boldsymbol P(t+\Delta t)$ $\Delta \boldsymbol P=\boldsymbol P(t+\Delta t)-\boldsymbol P(t)=\sum \boldsymbol F \Delta t$ 。

$\lambda$ $t$ $x$ $v$ $t+\mathrm d t$ $v\mathrm d t$ 长度的绳子。

F d t - x λ g d t = λ (x + v d t) (v + d v) - λ x v

火箭、提链子。

$t$ $m_1$ $v$ $\mathrm d t$ $\mathrm d m_2$ $u$ 向下。

- P (t) + P (t + d t) = F_{外} \cdot d t

研究喷气的动量变化：

(\underset{下 一 时 刻 火 箭 的 速 度}{\underset{⏟}{v + d v}} - u) d m_{2} - v d m_{2} \approx - u d m_{2}

由动量定理：

(F + d m_{2} g) d t = F d t = - u d m_{2}

反作用力

F_{P} = u \frac{d m_{2}}{d t}

对于火箭和喷气组成的系统

F d t = (m_{1} - d m_{2}) (v + d v) + d m_{2} (v + d v - u) - m_{1} v = m_{1} d v - u d m_{2}

因此推出：

F = m_{1} \frac{d v}{d t} - u \frac{d m_{2}}{d t} \overset{d m_{1} = - d m_{2}}{= = = = =} m_{1} \frac{d v}{d t} + u \frac{d m_{1}}{d t}

$F=-m_1g$ $m_1$ ，分离变量：

\begin{matrix} \int_{0}^{t} - g d t = \int_{0}^{t} \frac{d v}{d t} d t + \int_{0}^{t} u \frac{d m_{1}}{m_{1} d t} d t \\ - g t = v (t) - v (0) + u \ln \frac{m (t)}{m (0)} \\ v = u \ln \frac{m_{10}}{m_{1}} - \underset{阻 力}{\underset{⏟}{g t}} \end{matrix}

如果不计重力，得到

v = u \ln \frac{m_{10}}{m_{1}}

如何最大化速度，

v_{max} = u \ln \frac{m_{10}}{m_{1 min}}

$m_{10}$ $u$ $m_1$ 时可能达到的最大速度。需要分的越小越好。

希望最小化剩下的质量。

提高火箭速度的途径

$u$ 。
$m_{10}/m_{1\min}$ 。但是由技术方面的限制。

多级火箭

v = \sum_{i} u \ln N_{i} = u \ln (\prod_{i} N_{i})

绳子、链条运动的问题

$M$ $L$ $l$ 时，桌面所受链条作用力的大小。

$\lambda=M/L$ ，

(m g - N) d t = - λ (L - l) v + λ (L - l - v d t) (v + g d t)

得到

N = \frac{3 M g l}{L}

质点的角动量角动量守恒定律

角动量（动量矩）

$\boldsymbol p=m\boldsymbol v$ 不能描述转动问题。例如一个轻杆连接两个物体，这时候动量恒为 0。

$O$ （参考系中不动点）的角动量。

L := r \times p = r \times m v

大小：

L = r m v \sin θ

分量式：

\begin{matrix} L = r \times p = | \begin{matrix} i & j & k \\ x & y & z \\ p_{x} & p_{y} & p_{z} \end{matrix} | \end{matrix}

因此，

L_{x} = y p_{z} - z p_{y} = m (y v_{z} - z v_{y})

质点角动量定理

类比

\begin{matrix} E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} \frac{d E_{k}}{d t} = F \cdot v （ 功 率 ） \\ p = m v \frac{d p}{d t} = F （ 力 ） \\ \frac{d L}{d t} = \frac{d (r \times m v)}{d t} = r \times \frac{d (m v)}{d t} + \underset{v}{\underset{⏟}{\frac{d r}{d t}}} \times m v \\ = r \times \frac{d (m v)}{d t} = r \times F \end{matrix}

同一参考点 $O$ 的力矩。

\begin{matrix} M := r \times F \\ M = F d = F r \sin θ \end{matrix}

角动量是力矩的时间累积效应。

M = r \times F = \frac{d L}{d t}

微分形式 $\mathrm d t$ 时间的变化

M d t = d L

积分形式

r \times I = \int_{t_{0}}^{t} M d t = \int_{L_{0}}^{L} d L = L - L_{0}

$\int_{t_0}^t \boldsymbol M \mathrm d t$ $t_0 \to t$ 时间内的 冲量矩。

角动量守恒定律

$\boldsymbol M=0$ $\boldsymbol F=0$ $\boldsymbol F$ $O$ 点：有心力（如行星受中心恒星的万有引力）

L = Const

轨道在同一个平面内。

在中心力场中，关于力心的角动量守恒：

L = m v r \sin α = m \frac{| d r |}{d t} r \sin α = 2 m \frac{\frac{1}{2} r \overset{三 角 形 的 高}{\overset{⏞}{| d r | \sin α}}}{d t} = 2 m \frac{d S}{d t}

得到 开普勒第二定律 面积定律

\frac{d S}{d t} = \frac{L_{0}}{2 m}

常量，只和运动的行星有关。

质点对轴的转动定律

M_{z} = 0 \Rightarrow L_{z} = Const

如果外力使质点变换轨道，由角动量守恒得到

R_{2} m v_{2} = R_{1} m v_{1} \Rightarrow v_{2} = \frac{R_{1}}{R_{2}} v_{1}

质点系的角动量

作用于质点系的力矩

M = \sum_{i} M_{i} = \sum_{i} r_{i} \times F_{i}

重力矩

M_{g} = \sum_{i} r_{i} \times (m_{i} g) = r_{c} \times m g

取质心为轴，重力的力矩为 0。

内力矩

一对力力的方向沿两者连线上，因此

M_{i j} = r_{i} \times f_{i j} + r_{j} \times f_{j i} = (r_{i} - r_{j}) \times f_{i j} = r_{i j} \times f_{i j} \equiv 0

\frac{d L}{d t} = \sum_{i} r_{i} \times \underset{外 力}{\underset{⏟}{F_{i}}} = M

质点系角动量守恒的条件：

外力为 0.
每个外力矩为 0.
外力矩加起来为 0.

质点系的动量守恒和角动量守恒是独立的，可以同时满足。

质心系的角动量定理

L = \sum_{i} r_{i} \times m_{i} v_{i}

与惯性系中形式完全相同，但是无论质心系做匀速平动还是加速平动都成立。

$m_1$ $R$ $4 R$ $\vec{v}_0$ $m_2\left(m_2\right.$ $\theta$ $v$ 多大?

运用 角动量守恒 和 系统机械能守恒 定律。

$r$ 水平地 $v_0$ $v_0$ $\theta_0$ $\theta_0$ $o$ $)$

$N\cos \theta_0 > mg$ 时，小球能向上加速。

临界条件：

N \sin θ_{0} = m \frac{v_{0}^{2}}{r \sin θ_{0}} N \cos θ_{0} = m g \Rightarrow v_{0} = \sqrt{g r \frac{\sin^{2} θ_{0}}{\cos θ_{0}}}

$z$ 轴角动量守恒。

角动量守恒：

m v_{0} r \sin θ_{0} = m v r

$m$ $M$ $3 R$ $R$ $v_0$ $v_1$ $3 R$ $v_1$ $12 R$ $a_{\mathrm{t}}$ $\rho$ $R$ $\mathrm{g}$ 表示结果)?

在地面处：

G \frac{M m}{R^{2}} = m g g = G \frac{M}{R^{2}}

$3R$ 处绕地球做匀速圆周运动，得到

m \frac{v_{0}^{2}}{3 R} = G \frac{m M}{(3 R)^{2}} = \frac{m g}{9}

$v_0$ 。

为了脱离地球，系统机械能至少为零。

\frac{1}{2} m v_{1}^{2} - G \frac{M m}{3 R} = 0 \Rightarrow v_{1} = \sqrt{\frac{2 R g}{3}}

$3R$ $12R$ ，系统机械能守恒。

\frac{1}{2} m v_{2}^{2} - G \frac{M m}{12 R} = 0 \Rightarrow v_{2} = \sqrt{\frac{R g}{6}}

实际上，若机械能为零，应该做抛物线运动。

在此过程中，飞船相对于地心角动量守恒：

m v_{1} \cdot 3 R = m v_{2} \cdot 12 R \sin θ \Rightarrow \sin θ = \frac{1}{2}

需要把飞船的加速度沿速度方向和垂直速度方向分解。

| a | = G \frac{M}{(12 R)^{2}} = \frac{g}{144}

所以

\begin{matrix} a_{t} = - a \cos θ = - \frac{\sqrt{3} g}{288} a_{n} = a \sin θ = \frac{g}{288} \\ ρ = v_{2}^{2} / a_{n} = 48 R \end{matrix}

$M$ $A$ $m$ $B$ $B$ $A,B$ $B$ $A,B$ $B$ $\Delta E$ 的固定能量。

$B$ 所应具有的这一动能值。

质心速度不变

v_{c} = \frac{m}{m + M} v_{0}

系统能量守恒：

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \underset{const}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (m + M) v_{c}^{2}}} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2} + Δ E

$v_0$ 最小，需要

\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} M V^{2} = 0

因此，

E_{k} = \frac{m^{2}}{2 (m + M)} v_{0}^{2} + Δ E

$\left(M_a 、 M_b\right)$ $\left(M_0\right)$ $\omega_0$ $k$ $t$ 时刻两筒角速度。

内筒仅仅是把沙子甩出，所以角速度不变。利用沙子和外筒角动量守恒，可以得到：

k t a^{2} ω_{0} = (M_{b} + k t) b^{2} ω_{b}

因此，

ω_{b} = \frac{k t a^{2}}{(M_{b} + k t) b^{2}} ω_{0}

$m$ ，轻绳，光滑水平面，求运动规律及绳中张力。

首先，分析质点系的平动，得到水平方向守恒，也就是

m v_{0} = 2 m v_{c} \Rightarrow v_{c} = \frac{1}{2} v_{0}

然后再在质心系中分析，得到系统相对质心角动量守恒，为了处理角速度：

m v_{0} \frac{l}{2} = m {(\frac{l}{2})}^{2} ω + m {(\frac{l}{2})}^{2} ω \Rightarrow ω = \frac{v_{0}}{l}

为什么不选择相对于其他的点角动量守恒，也可以得到：

m v_{0} l = m l^{2} ω \Rightarrow ω = \frac{v_{0}}{l}

所以可以选择质心以外的点分析。

绳中的张力：

T = m \frac{l}{2} ω^{2} = \frac{1}{2} m \frac{v_{0}^{2}}{l}

$m$ ，轻杆，光滑水平面，对心弹性碰撞，分析其运动情况。

$a,b$ $ab$ 作为一个整体分析。其质心位于两球连线的中央。

因此动量守恒，得到：

m v_{0} = m v + 2 m v_{c}

$cb$ $c$ $cb$ 连线这条直线上。

$ab$ $\omega$ $c$ $v_a=v_b=\omega \frac{l}{2}$ $r=\frac{l}{2}$ ，因此总角动量为

2 m {(\frac{l}{2})}^{2} ω

因此，系统角动量守恒就是说：

m v_{0} \frac{l}{2} \sin 45^{\circ} = m v \frac{l}{2} \sin 45^{\circ} + 2 m {(\frac{l}{2})}^{2} ω

系统机械能守恒就是：

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (2 m) v_{c}^{2} + \frac{1}{2} (2 m) {(\frac{l}{2})}^{2} ω^{2}

$abc$ $c$ 不受束缚，质心的位置难以确定。

处理天体运动，一般需要机械能守恒+角动量守恒。

动量定理 动量守恒定律