刚体力学

质心、运动定理

体系、动量定理

刚体、简谐振动

刚体运动的描述

刚体的定义

任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化的模型）刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置不改变。

自由度

完全描述运动所需的独立坐标数。

$=1$ 。
$=3$ 。
$N$ $=3N$ 。
$3$ $6$ 个自由度。

刚体的运动形式

平动 (translation) 三个自由度。
转动 (rotation) 定轴转动、定点转动
- 定轴转动 $\theta$ 即可确定刚体的位置。
- 定点转动 转轴方向两个自由度，转轴角度一个自由度。
平面平行运动 分解为平动 (2)+转动 (1) 类似于平面上的陀螺。汽车里的行星齿轮。
一般运动 $6$ 个自由度。

处理定轴转动的物理基础：

M = \frac{d L}{d t}

刚体的定轴转动定理

刚体所受的力矩 $M_z$ $0$ 。

$i$ $\boldsymbol F_i$ $\boldsymbol F_i$ 垂直于转轴，得到刚体所受的关于定轴的合力矩：

M_{z} = \sum_{i} M_{i z} = \sum_{i} r_{i} F_{i} \sin θ_{i}

刚体定轴转动的角动量

L = \sum_{i} L_{i} = \sum_{i} (R_{i} \times Δ m_{i} v_{i})

得到

L_{i} = R_{i} \cdot Δ m_{i} v_{i} \Rightarrow L_{i z} = L_{i} \sin φ_{i} = R_{i} \cdot Δ m_{i} v_{i} \sin φ_{1} = r_{i} \cdot Δ m_{i} v_{i}

对整个刚体：

\begin{matrix} L_{z} = \sum_{i} L_{i z} = \sum_{i} r_{i} Δ m_{i} v_{i} = (\sum_{i} Δ m_{i} r_{i}^{2}) ω \\ J := \sum_{i} Δ m_{i} r_{i}^{2} 称 为 刚 体 对 转 轴 z 的 转 动 惯 量 \end{matrix}

L_{z} = J ω

$z$ 的角动量。

刚体定轴转动定律

由质点系的角动量定理，

M = \frac{d L}{d t}

对刚体的定轴转动，有

M_{z} = \frac{d L_{z}}{d t}

得到

M = \frac{d (J ω)}{d t} = J \frac{d ω}{d t} = J α

\int_{t_{0}}^{t} M d t = J ω - J_{0} ω_{0}

称为角冲量。

阿特伍德机

整体的角动量

\begin{matrix} (m_{1} g - m_{2} g) R = \frac{d (L_{1} + L_{2} + L_{3})}{d t} \\ = \frac{d (m_{1} v R + m_{2} v R + J ω)}{d t} = m_{1} R a + m_{2} R a + J \underset{β}{\underset{⏟}{\frac{a}{R}}} \end{matrix}

$a$ 。

$m_1=m_2$ $1$ 物体的方向转动，那么

m_{2} v_{2} + (- m_{1} v_{1} - J ω) = 0

打击中心问题

质心运动定律分量式：

\begin{matrix} {\begin{aligned} F_{t} = F + N_{x} = m a_{c t} = m (\frac{l}{2} α) \\ F_{n} = N_{y} - m g = m a_{c n} = m (\frac{l}{2} ω^{2}) \approx 0 \end{aligned} \end{matrix}

$\alpha=M/J$ $M=Fl_0,J=\frac{1}{3}ml^2$ ，因此

N_{x} = \frac{m l}{2} \frac{F l_{0}}{\frac{1}{3} m l^{2}} - F = (\frac{3 l_{0}}{2 l} - 1) F

$l_0<\frac{2}{3}l$ $N_x<0$ 。

$l_0=\frac{2}{3}l$ $N_x=0$ 。

$l_0>\frac{2}{3}l$ $N_x=0$ 。

打击中心：使得支反力为 0。如果在打击中心，可以用水平方向动量守恒。

取质元为圆环，则

d m = σ \cdot d S = \frac{m}{π R^{2}} \cdot 2 π r d r

质元所受摩擦为：

d f = - μ d m g

那么总体摩擦力的力矩为：

M = \int_{0}^{R} r d f = \frac{2}{3} μ m g R

$M$ 是常数。

t = \frac{M}{J} = \frac{4 μ g}{3 R}

转过的角度：

α = ω_{0} / t φ = ω_{0} - \frac{1}{2} α t^{2} = \frac{3 R ω_{0}^{2}}{8 μ g}

刚体的转动惯量

定义

J := \sum_{i} Δ m_{i} r_{i}^{2} J := \int r^{2} d m

$r_i$ $\Delta m_i$ 到转轴的垂直距离。

刚体为分立的质点组成时，用求和，为质量连续体时，用积分。

可以看出，刚体的转动惯量只和刚体本身的性质和转轴的位置有关。

均匀圆环

\begin{aligned} J = & \int r^{2} d m \\ = & \int R^{2} d m = m R^{2} \end{aligned}

均匀圆盘

\begin{aligned} J_{c} & = \int r^{2} d m = \int r^{2} (\underset{面 密 度}{\underset{⏟}{σ}} \underset{增 加 d r 的 面 积}{\underset{⏟}{d S}}) \\ = \int_{0}^{R} r^{2} σ (2 π r d r) = \int_{0}^{R} 2 σ π r^{3} d r \\ = 2 π σ \frac{R^{4}}{4} = 2 π R^{2} σ \frac{R^{2}}{2} = \frac{1}{2} m R^{2} \end{aligned}

均匀细棒绕中心

利用

d m = \frac{m}{l} d x

得到

J = \int \underset{d m 到 转 轴 的 垂 直 距 离}{\underset{⏟}{x^{2}}} d m = \int_{\frac{- l}{2}}^{\frac{l}{2}} \frac{m}{l} x^{2} d x = \frac{1}{12} m l^{2}

问：

$l/3$ $2l/3$ ，改变积分上下限。
$\theta$ $r^2=x^2\sin^2\theta$ 。

均匀细棒绕一端

$0$ $l$ ，得到

J = \int_{0}^{l} \frac{m}{l} x^{2} d x = \frac{1}{3} m l^{2}

$J=J_c+m(\frac{l}{2})^2=\frac{1}{3}ml^2$ .

均匀球体对直径的转动惯量

分解为若干圆盘。

利用圆盘转动惯量的公式，代入

ρ = \frac{m}{\frac{4}{3} π R^{3}}

J = \frac{1}{2} m R^{2} = \frac{1}{2} ρ V R^{2}

d J = \frac{1}{2} ρ π (R \sin θ)^{2} d z (R \sin θ)^{2}

$\mathrm d z$ $\mathrm d \theta$ 的关系，得到

z = R \cos θ

两边求微分，得到

d z = R d (\cos θ)

因此，整体进行积分，得到

\begin{matrix} J = \int d J = \frac{1}{2} ρ π R^{5} \int_{0}^{π} (\sin θ)^{4} d (\cos θ) = \frac{1}{2} ρ π R^{5} \int_{0}^{π} (\cos^{4} θ - 2 \cos^{2} θ + 1) d (\cos θ) \\ = \frac{1}{2} ρ π R^{5} {(\frac{1}{5} t^{5} - \frac{2}{3} t^{3} + t) |}_{- 1}^{1} = \frac{2}{5} m R^{2} \end{matrix}

也可以使用球面坐标变换。

均匀球壳对直径

J_{C} = 2 \int_{0}^{π / 2} \frac{m}{4 π R^{2}} \cdot 2 π R \sin θ R d θ \cdot R \sin θ = \frac{2}{3} m R^{2}

圆环以直径为轴

\frac{1}{2} m R^{2}

圆盘以直径为轴

\frac{1}{4} m R^{2}

平行轴定理

$J$ 通过质心 $J_c$ $m$ $d$ 的平方。

J = J_{c} + m d^{2}

证明：

\begin{aligned} J & = \sum_{i} Δ m_{i} r_{i o}^{' 2} \\ = \sum_{i} Δ m_{i} r_{i c}^{2} + m d^{2} - 2 d \sum_{i} Δ m_{i} r_{i c} \\ = J_{c} + m d^{2} \end{aligned}

垂直轴定理

垂直轴定理只适用于薄板

J_{z} = \sum_{i} Δ m_{i} r_{i}^{2} = \sum_{i} Δ m_{i} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2}) = J_{y} + J_{x}

J_{z} = J_{x} + J_{y}

可以算出圆盘以直径为轴的转动惯量。

M = J \frac{d ω}{d t}

m g \frac{l}{6} \cos θ = \frac{1}{9} m l^{2} \frac{d ω}{d t}

进行替换，得到

ω = \frac{d θ}{d t} \Rightarrow d t = \frac{d θ}{ω}

得到

\int_{0}^{ω} ω d ω = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{3 g}{2 l} \cos θ d θ

刚体定轴转动的角动量守恒定律

M = \frac{d (J ω)}{d t}

$M=0$ 时，有

\frac{d (J ω)}{d t} = 0

$J\omega=J_0\omega_0=\mathrm{const}$ 。

定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。

适用于刚体，非刚体和物体系。

角动量守恒的情况。

力过转轴。
力矩均不相等，但是可以抵消。

角动量守恒的情况

$J,\omega$ $L=J\omega=\mathrm{const}$ 。
$J,\omega$ 都变化，但是为常数，如花样滑冰。
刚体组角动量守恒。若刚体由几部分组成，且绕同一轴转动。

$J$ 不变）的角动量守恒 如直立旋转陀螺不倒。

$J$ 可变）的角动量守恒 如芭蕾舞。

物体系的角动量守恒

若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统（对共同转轴）的总角动量守恒： (角动量可在刚体组内部通过内力作用传递)

\sum_{i} J_{i} ω_{i} = const

如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。

系统角动量守恒，得到

J_{0} ω_{0} = J ω

其中转动惯量

J_{0} = \frac{1}{2} m_{1} R^{2} J = J_{0} + m_{2} (u t)^{2}

得到

ω = \frac{ω_{0}}{1 + \frac{2 m_{2} u^{2}}{m_{1} R^{2}} t^{2}}

转过角度需要积分：

φ = \int_{0}^{t_{0}} ω d t

利用系统角动量守恒，得到

m v_{0} \frac{2 l}{3} = - m \frac{v_{0}}{2} \frac{2 l}{3} + m {(\frac{2 l}{3})}^{2} ω + 2 m {(\frac{l}{3})}^{2} ω

m_{2} v l = \frac{1}{3} m_{1} l^{2} \cdot ω - m_{2} v^{'} l

角动量守恒，但是系统总动量不守恒。

刚体定轴转动的功能原理

刚体定轴转动的转动动能

E_{k} = \sum_{i} \frac{1}{2} Δ m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i} Δ m_{i} r_{i}^{2} ω^{2} = \frac{1}{2} J ω^{2}

由平行轴定理，可以分解为刚体绕过质心轴转动和随质心的平动。

E_{k} = \frac{1}{2} J_{c} ω^{2} + \frac{1}{2} m v_{c}^{2}

力矩的功

A = \int_{φ_{0}}^{φ} M d φ

类似于

A = \int_{l_{0}}^{l} F d l

力矩的功率

$P=Fv=M\omega$ 。

刚体定轴转动的动能定理

M = J \frac{d ω}{d t} = J \frac{d ω}{d φ} \frac{d φ}{d t} = J ω \frac{d ω}{d φ}

刚体的重力势能

E_{p} = m g z_{c}

刚体定轴转动的功能原理

\int_{φ_{0}}^{φ} M d φ = (m g z_{c} + \frac{1}{2} J ω^{2}) - (m g z_{c 0} + \frac{1}{2} J ω_{0}^{2})

$P$ $\omega$ $k$ $J$ ，求：

$t$ 秒时刻的角速度。
$-k\omega$ .
$M = J \frac{d ω}{d t} = \frac{P}{ω} - k ω$
得到
$\frac{ω d ω}{P - k ω^{2}} = \frac{1}{J} d t$
也就是
$\frac{d (P - k ω^{2})}{P - k ω^{2}} = - \frac{2 k}{J} d t$
得到
${(\ln (P - k ω^{2})) |}_{0}^{ω} = {(- k t / J) |}_{0}^{t}$
得到
$ω = \sqrt{\frac{P}{k} (1 - e^{- k t / J})}$
电风扇稳定转动时的角速度：
$t \to \infin$ $\omega=\sqrt{P/k}$
$\tau_0=J/k$ $5\tau_0$ .

$m,l$ $O$ ，开始棒水平，由静止释放，求：

水平位置放手时，棒的质心加速度。
重力作用于质心，得到
$α = \frac{M_{z}}{J} = \frac{3 g}{2 l}$ $a_{c t} = \frac{l}{2} α = \frac{3}{4} g a_{c n} = 0$
摆到竖直位置时，棒的角速度。
利用机械能守恒，得到
$\frac{1}{2} J ω^{2} - m g \frac{l}{2} = 0$
得到
$ω = \sqrt{\frac{3 g}{l}}$
摆到竖直位置时，轴的支反力。
得到
$a_{c n} = \frac{l}{2} ω^{2} F_{y} = m g + m a_{c n}$

弹性碰撞

\begin{matrix} J ω_{1} = J ω_{2} + L m v_{B} \\ \frac{1}{2} J ω_{1}^{2} = \frac{1}{2} J ω_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v_{B}^{2} \end{matrix}

$R,h,J$ $\omega_0$ $m$ 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块相对于圆锥体的速度、圆锥体角速度。

对竖直轴的角动量守恒、竖直方向的角动量守恒

因为重力方向始终垂直。

J ω_{0} = (J + m R^{2}) ω

小物块的速度可以分解为相对圆锥运动和圆锥体相对地的运动

u + ω R

$\boldsymbol r$ $\boldsymbol r \times \boldsymbol u=0$ 。

系统的机械能守恒

小物块的终速度的大小：

\sqrt{u^{2} + ω^{2} R^{2}}

因为是垂直的。

\frac{1}{2} J ω_{0}^{2} + m g h = \frac{1}{2} J ω^{2} + \frac{1}{2} m (u^{2} + ω^{2} R^{2})

回转仪进动

刚体的旋转分为两个成分，高速自转、进动。

Rotation, Precession, Nutation.

$\mathrm d L // L$ $L$ $\mathrm d L \bot L$ ，该如何？

回转仪：由厚而重，形状对称的刚体绕对称轴高速自转的装置。

$M=0$ 时，角动量保持恒定，定向回转仪。

陀螺 $m$ $\omega$ 自转，力矩为

m g r \sin θ

还有绕自身旋转的角动量，得到

d L = M \cdot d t

d L ⊥ L

$\boldsymbol L$ 时刻改变方向而大小不变。

进动角速度的计算

几何关系

| d L | = | L | \sin θ \cdot d φ = J_{c} ω \sin θ \cdot d φ

$\mathrm d \boldsymbol L=\boldsymbol M \cdot \mathrm d t$ 。

| d L | = | M | \cdot d t = m g r \sin θ \cdot d t

进动 Precession 角速度

Ω = \frac{d φ}{d t} = \frac{m g r}{J_{c} ω}

$\omega$ $\Omega$ 越小。

$\omega$ $L$ $\Omega$ 方向相反。

一般来说，转动刚体对参考点的角动量和角速度是不平行的，但是如果刚体轴对称质量分布，那么就是平行的。

刚体的平面运动

刚体做平面运动，都可以转化为随质心平动和绕质心轴的转动。

\sum F_{i} = m a_{c} M_{c} = J_{c} α

分解任意质元的速度：

v_{i} = v_{c} + ω \times r_{i}

动能也可以进行分解：

E_{k} = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} + \frac{1}{2} J_{c} ω^{2}

$M=M_c +M_I$ $M_I$ 是惯性力矩

M_{I} = \sum_{i} r_{i}^{'} \times (- Δ m_{i} a_{c})

$M_I=0$ 。

质心运动定理：

a_{c} = \frac{F}{m}

F d = J_{c} α \Rightarrow α = \frac{F d}{J_{c}} = \frac{12 F d}{m l^{2}}

$s=\varphi r,v=\omega r$ 。常规方法

m g \sin α - F_{t} = m a_{c} F_{N} - m g \cos α = 0 F_{t} r = J_{c} β

最快求出角加速度： $\displaystyle \boldsymbol P$ 为参考点

J_{P} = \frac{2}{5} m r^{2} + m r^{2} = \frac{7}{5} m r^{2}

只用考虑重力的力矩：

β = m g \sin α \cdot r / J_{P} = 5 g \sin α / 7 r

推出加速度：

a_{c} = r β

得到时间：

Δ t = \sqrt{\frac{2 h / \sin α}{a_{c}}}

然后求出速度和角速度。

能不能用机械能守恒：

\begin{matrix} m g h + 0 + 0 = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} J_{c} ω^{2} \\ = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{5} m r^{2} ω^{2} \\ = \frac{7}{10} m v^{2} \end{matrix}

因此

v = \sqrt{\frac{10}{7} g h} ω = v / r

连滚带滑的情况 $v\not=\omega r$ 。

(ω_{0} - Δ t \cdot β) R = Δ t \cdot a

ω_{0} R = Δ t (a + β R)

Δ t = \frac{ω_{0} R}{a + β R}

v_{r} = \frac{ω_{0} R}{1 + β R / a}

习题

刚体力学总结

$M=\boldsymbol r \times \boldsymbol F=rF\sin\theta$ $M=\displaystyle \int r\mathrm{d} f$ . (如摩擦力等和位矢垂直时)
$\displaystyle M\overset{定义}=\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}=J\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d} t}+\omega \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} t}\overset{当 J 恒定}=J\beta$ .
$a=R\beta$ . 列牛二找关系。
转动惯量
- $\displaystyle J=\int r^2 \mathrm{d} m$ .
- $J=J_C+md^2$ .
- $J_z=J_x+J_y$ .
$L_C=mvr$ $L'=J\omega$ ）
对某一点角动量守恒：系统所受合外力的力矩为零。
$\displaystyle A=\int_{\varphi_0}^\varphi M\mathrm d \varphi$
刚体转动的动能
- $\displaystyle E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$ $J$ 是对轴的转动惯量。（运动为定轴转动）
- $\color{red}\displaystyle E_k=\frac{1}{2} J_c \omega^2 +\frac{1}{2}mv_c^2$ $J_C$ 是对质心的转动惯量。（运动为定轴转动+平动）
$\boldsymbol r$ $O$ $C$ 间形成的矢量。
- $a_{Cy}=\beta l_C$ .
- $a_{Cx}=l_C \omega ^2$ .
$\color{red}\displaystyle \Omega =\frac{mg r_C}{J_C \omega}$ $r_c$ $J_C$ $\omega$ $\Omega$ 越小。
$\Delta s=r \Delta \varphi\Rightarrow v=r\omega,a=r\beta$ .
- 质心 $J_C\omega$ 与地面的接触点 $J_C\omega+mv_CR$ 。
- 常常利用刚体不定轴转动的动能，结合能量守恒求解。

刚体运动的描述

刚体的定轴转动定理

刚体的转动惯量

平行轴定理

垂直轴定理

刚体定轴转动的角动量守恒定律

刚体定轴转动的功能原理

刚体定轴转动的转动动能

力矩的功

力矩的功率

刚体定轴转动的动能定理

刚体的重力势能

刚体定轴转动的功能原理

回转仪 进动

刚体的平面运动

习题

回转仪进动