狭义相对论

经典力学的困难

$S$ $(x,y,z,t)$ 由该事件发生的地点及该处的时钟记录下来。

同时性和时间间隔的绝对性

同时性

$t_2=t_1$ $t_2'=t_1'$ .

时间间隔

\begin{matrix} Δ t = t_{2} - t_{1} \\ Δ t^{'} = t_{2}^{'} - t_{1}^{'} = Δ t \end{matrix}

空间间隔的绝对性

$S$ $P_1:(x_1,y_1,t_1)$ $P_2:(x_2,y_2,t_2)$ $L=x_2-x_1$ 。（同时测量）

$S'$ $P_1:(x_1',y_1',t_1')$ $P_2:(x_2',y_2',t_2')$ 。

$L'=x_2'-x_1'=(x_2-ut_2)-(x_1-ut_1)=x_2-x_1$ .

牛顿：时间和空间是与物质的存在和运动无关的，是绝对不变的。考虑物体的运动，得出了狭义相对论 Special Relativity。

牛顿牛顿的绝对时空观

\begin{matrix} {\begin{matrix} x_{2}^{'} - x_{1}^{'} = x_{2} - x_{1} \\ t_{2}^{'} - t_{1}^{'} = t_{2} - t_{1} \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} {\begin{matrix} v_{x}^{'} = v_{x} - u \\ v_{y}^{'} = v_{y} \\ v_{z}^{'} = v_{z} \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} {\begin{matrix} a_{x}^{'} = a_{x} - \frac{d u}{d t} \\ a_{y}^{'} = a_{y} \\ a_{z}^{'} = a_{z} \end{matrix} \end{matrix}

宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同。力学的基本运动规律在所有惯性系中可以表示为相同形式。

伽利略变换的局限性

一维电磁波动方程：

\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Φ (x, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Φ (x, t) = 0

$x'=x-ut$ 进行变换，发现形式上不相同。

\frac{\partial^{2}}{\partial x^{' 2}} Φ - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{' 2}} Φ + \frac{2 u}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{'} \partial t^{'}} - \frac{u^{2}}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{' 2}} Φ = 0

光速是否符合伽利略速度变换。

掷球实验

$t=t_{10}=0$ $t=t_1$ 时刻球出手。

$t=t_{20}=L/c$ $t=t_2=t_1+L/(c+u)$ 时刻，B 看到球离开 A 手的情况。

$L$ $L/c>t_1+L/(c+u)$ ，因果律被破坏。

狭义相对论的基本假设

狭义相对性原理：一切物理规律在任何惯性系中形式相同。
$c$ ，与光源和观测者的运动无关。

狭义相对论的时空观

同时性的相对性

$S$ $A',B'$ 放置信号接收器

时间间隔的相对性

$S'$ 系静止：

Δ t_{0}^{'} = \frac{2 d}{c}

$\Delta t_0'$ 称为固有时或者本征时。

$S$ 系中观察，得到

\begin{matrix} l = \sqrt{d^{2} + {(\frac{u Δ t}{2})}^{2}} \\ \Rightarrow Δ t = \frac{2 d}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \frac{Δ t_{0}^{'}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \end{matrix}

洛伦兹长度收缩

$S$ $L$ $S'$ 系中的观测者测量为

L^{'} = L \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}

$\mu^-$ 介子。

如果没有时间膨胀：

s_{0} = u τ \approx 644 m

时间膨胀：

Δ t = \frac{τ}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}

s = u Δ t \approx 1.02 \times 10^{4} m

$\mu^-$ 子上看：大气层的厚度变短了。尺缩效应。

洛伦兹变换

$S$ $S'$ $x$ $x'$ $S'$ $S$ $\boldsymbol u$ $x$ 轴正方向运动。两个惯性系分别有自己的计时系统。

$x$ $x'$ $S$ 动长 $S$ $P$ 点的坐标：

x = u t + x^{'} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}

解得

x^{'} = \frac{x - u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = γ (x - u t)

$S'$ $x'$ 。

x^{'} = - u t^{'} + \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} x

得到

x = γ (x^{'} + u t^{'})

解得：

t = γ (t^{'} + \frac{u}{c^{2}} x^{'})

坐标变换式：

\begin{matrix} {\begin{aligned} x^{'} = γ (x - u t) \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = γ (t - u x / c^{2}) \end{aligned} \end{matrix}

$u\ll c$ $\gamma \to 1$ 。伽利略变换。

时间变换：

\begin{matrix} t_{2} = γ (t_{2}^{'} + u x_{2}^{'} / c^{2}) \\ t_{1} = γ (t_{1}^{'} + u x_{1}^{'} / c^{2}) \end{matrix}

Δ t = t_{2} - t_{1} = γ (Δ t^{'} + u Δ x^{'} / c^{2})

因此只有两个事件在同时同地点发生，在所有参考系来看才是同时的。

洛伦兹速度变换

利用

v_{x}^{'} = \frac{d x^{'}}{d t^{'}} = \frac{d x^{'}}{d t} \cdot \frac{d t}{d t^{'}}

时空间隔不变性

$(\Delta s)^2$

(Δ s^{2}) \equiv c^{2} Δ t^{2} - [(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} + (Δ z)^{2}]

$(0,0,0,0)$ 时。

\begin{aligned} (Δ s)^{2} & = c^{2} (Δ t)^{2} - [(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} + (Δ z)^{2}] \\ = c^{2} {[γ (Δ t^{'} + \frac{u}{c^{2}} Δ x^{'})]}^{2} - [γ^{2} {(Δ x^{'} + u Δ t^{'})}^{2} + {(Δ y^{'})}^{2} + {(Δ z^{'})}^{2}] \\ = (Δ s^{'})^{2} \end{aligned}

相对论质量和动量

动量守恒在洛伦兹变换下保持不变。

p = m v

实验表明相对论质量：

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}

$v=0$ 时为物体的静止质量；
$v\ll c$ $m=m_0$ 与牛顿力学一致。

相对论动量：

p = m (v) v = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} v

相对论动力学方程

力定义为：

F = \frac{d p}{d t} = \frac{d}{d t} (\frac{m_{0} v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}})

$F$ $F_0$ ，得到

\frac{d v}{d t} = {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{3 / 2} \frac{F_{0}}{m_{0}}

$v \to c$ $\mathrm d v/\mathrm d t$ 趋于 0.

相对论能量质能关系

相对论动能

E_{k} = \underset{运 动 能 量}{\underset{⏟}{m c^{2}}} - \underset{静 止 能 量}{\underset{⏟}{m_{0} c^{2}}}

$v \ll c$ 情况下：

E_{k} = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - m_{0} c^{2} = (1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} + \frac{3}{8} \frac{v^{4}}{c^{4}} + \dots) - m_{0} c^{2} \approx \frac{1}{2} m_{0} v^{2}

$v$ ，得到

v = c {[1 - {(1 + \frac{E_{k}}{m_{0} c^{2}})}^{- 2}]}^{1 / 2}

相对论总能量

\underset{总 能 量 := E}{\underset{⏟}{m c^{2}}} = \underset{相 对 论 动 能}{\underset{⏟}{E_{k}}} + \underset{静 止 能 量}{\underset{⏟}{m_{0} c^{2}}}

相对论动量能量关系

由

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

平方之后可得：

m^{2} c^{2} = m_{0}^{2} c^{2} + m^{2} v^{2}

$c^2$ ，得到

m^{2} c^{4} = m_{0}^{2} c^{4} + m^{2} v^{2} c^{2}

$p=mv,E=mc^2$ 取代：

E^{2} = m_{0}^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}

$E=pc$ 。

粒子的速率：由 相对论动能

E_{k} = m c^{2} - m_{0} c^{2} = n m_{0} c^{2}

得到

m = (n + 1) m_{0} c^{2} = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

$v=c\sqrt{1-\frac{1}{(n+1)^2}}$ 。

相对论动量 $p=m_0v/\sqrt{1-v^2/c^2}=\sqrt{n^2+2n}m_0c$ 。

习题

$\beta=v/c$ $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$
- $l=l_0\sqrt{1-\beta^2}$ .
- $\Delta t_0=\Delta t\sqrt{1-\beta^2}$ .
洛伦兹变换
$\begin{matrix} {\begin{aligned} x^{'} = γ (x - u t) \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = γ (t - u x / c^{2}) = x^{'} / \frac{x - u t}{t - u x / c^{2}} \end{aligned} \end{matrix}$
$u$ $S'$ $S$ 的速度。
$u$ $S'$ $S$ $v_x'$ $S'$ $v_x$ $S$ 的运动速度。
$v_{x} = \frac{v_{x}^{'} + u}{1 + \frac{u}{c^{2}} v_{x}^{'}}$
$\displaystyle m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}}=\gamma m_0$ $p=\gamma m_0 v$ .
$E_\mathrm k=\underbrace{mc^2}_{运动能量}-\underbrace{m_0c^2}_{静止能量}$ $\Delta E=\Delta mc^2$ .
$E^2=m_0^2 c^4 +p^2 c^2$ $E=pc$ .