基础的方程：

简谐振动运动学

振动是一种普遍存在的运动形式

1. 物体的来回 往复运动（弹簧振子、单摆等）Vibration, Oscillation.

2. 电流、电压的周期性变化

任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化----振动。

机械振动： 物体在一定位置附近作来回往复的运动

可以证明: 任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本的振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐振动。

简谐振动的运动规律

简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦）规律时，其运动形式为简谐振动。

1. 振幅 $A$$A$ Amplitude.

2. 周期 $T$$T$ 完成一次全振动所经历的时间。

3. 频率 $\nu$$\nu$：单位时间内完成全振动的次数。

4. 角频率 $\omega$$\omega$

5. 相位 $\mathrm{\Phi }=(\omega t+\phi )$$\Phi=(\omega t+\varphi)$ 位置和速度仅仅由相位决定 $x=A\cos \mathrm{\Phi }(t),v=-\omega A\sin \mathrm{\Phi }(t)$$x=A\cos \Phi(t),v=-\omega A\sin \Phi(t)$。$\phi$$\varphi$：振动的初相位。

   求出 $\phi ,\mathrm{\Phi }$$\varphi,\Phi$：

   $$\phi =\arctan (-\frac{v_0}{\omega x_0})\mathrm{\Phi }=\arctan (-\frac{v}{\omega x})$$

相位差 对于两同频率的谐振动 $\mathrm{\Delta }\phi ={\phi }_2-{\phi }_1$$\Delta \varphi=\varphi_2-\varphi_1$ 初相差。明确 ${\phi }_2-{\phi }_1$$\varphi_2-\varphi_1$ 在 $-\pi \sim \pi$$-\pi \sim \pi$ 之间。

同相和反相 $\mathrm{\Delta }\phi =\pm 2k\pi$$\Delta \varphi=\pm2k\pi$ 同相，$\mathrm{\Delta }\phi =\pm (2k+1)\pi$$\Delta\varphi=\pm(2k+1)\pi$ 反相。

超前和落后 若 $0<{\phi }_2-{\phi }_1<\pi$$0<\varphi_2-\varphi_1<\pi$ 则称 $x_2$$x_2$ 超前与 $x_1$$x_1$.

这里 ${\phi }_2=0,{\phi }_1=-\pi /2$$\varphi_2=0,\varphi_1=-\pi/2$，因此 $x_2$$x_2$ 超前于 $x_1$$x_1$。

速度和加速度

1. $v_m=\omega A$$v_m=\omega A$ 称为速度幅，速度相位比位移超前 $\pi /2$$\pi/2$。

2. $a_m={\omega }^{2}A$$a_m=\omega^2 A$ 称为加速度幅，和位移反相。

旋转振幅矢量法

简谐振动动力学

简写振动的动力学方程

受到线性恢复力 $F=-kx$$F=-kx$，物体具有惯性。

完全的积分法：

解为：

由初始条件 $(x_0,v_0)$$(x_0,v_0)$：

怎么推的？

因此

如果存在常力 $\mathit{F}$$\boldsymbol F$ ？ 比如说重力或者电场力，位移振子。

令 $X=x-x_0,x_0=F/k$$X=x-x_0,x_0=F/k$，得到

满足 $x=A\cos (\omega t+\phi )$$x=A\cos (\omega t+\varphi)$，也可以是受迫振动。

微振动的简谐近似

单摆在小角摆动

以角度增加的方向为正方向。那么重力分力：$f=-mg\sin \theta$$f=-mg\sin\theta$。

由于 $\theta$$\theta$ 很小，$\sin \theta \approx \theta$$\sin \theta \approx \theta$，而且走过的弧长 $s=l\theta$$s=l\theta$，那么

得到是简谐振动的形式，因此

周期

复摆的小角摆动

定轴转动问题，固定 $O$$O$ 点，对应 $z$$z$ 轴。以角度增加的方向为正方向。

因此

如果复摆就是一个质点，得到 $J=m{r}_c^2$$J=mr^2_c$，代入，得到 $\omega =\sqrt{g/l}$$\omega=\sqrt{g/l}$。

设水平方向 $C$$C$ 投影离原点距离为 $x$$x$，则 $\theta \approx x/r_c$$\theta \approx x/r_c$，得到

为什么能够近似简谐振动？

在最低点 $x$$x$ 处泰勒展开。

对于板子，分析横向运动，需要分析摩擦力，因此需要分析支持力。选两个圆柱的中点为原点。

首先，受力平衡，得到 $N_1+N_2=mg$$N_1+N_2=mg$，其次不能发生转动，力矩平衡

得到

得到

如何判别简谐振动？

动力学方程形式：$\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0$$\ddot{x}+\omega^2 x=0$ 动力学方程形式。$F_{\text{合}}=-k^{\ast }x+F_0$$F_{合}=-k^* x+F_0$ 线性回复力。$E=\frac{1}{2}{k}^{\ast }{x}^2+\frac{1}{2}{M}^{\ast }{v}^2$$E=\frac{1}{2}k^*x^2+\frac{1}{2}M^*v^2$ 能量的形式。

简谐振动的能量

动能 $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}kA{\sin }^2(\omega t+\phi )$$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kA\sin^2 (\omega t+\varphi)$。

势能 $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2(\omega t+\phi )$$E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2 \cos ^2(\omega t+\varphi)$。

• 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。

• 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。

• 谐振动的总能量与振幅的平方成正比。也就是说：

  $$E=\frac{1}{2}k{A}^{2}A=\sqrt{\frac{2E}{k}}=\sqrt{\frac{2E_0}{m{\omega }^2}}$$

平行简谐振动的合成 振动频谱

同方向同频率简谐振动的合成

某一质点同时参与两个独立的、同方向、同频率的简谐振动。

同方向不同频率两谐振动的合成 拍

振动的频谱分析

周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动。

周期振动频率 ${\nu }_0$$\nu_0$，各分振动的频率为 ${\nu }_0,2{\nu }_0,3{\nu }_0\cdots$$\nu_0,2\nu_0,3\nu_0\cdots$.

垂直简谐振动的合成

同频率垂直简谐振动的合成

形成椭圆。

不同频率垂直简谐振动的合成

形成李萨如图形。

阻尼振动

受到和速度成正比的阻力 $f_r=-\gamma v$$f_r=-\gamma v$.

运动方程：

令 ${\displaystyle {\omega }_0^2=\frac{k}{m},2\delta =\frac{\gamma }{m}}$$\displaystyle \omega_0^2=\frac{k}{m},2\delta =\frac{\gamma}{m}$. 其中 $\delta$$\delta$ 称为阻尼因子。当阻尼较小，即 $\delta <{\omega }_0$$\delta <\omega_0$ 时，特征方程的解为复数 $\lambda =-\delta \pm \sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}\mathrm{i}$$\lambda=-\delta\pm \sqrt{\omega_0^2-\delta^2}\mathrm i$，因此

速度随时间关系 $v=v_0{e}^{-2\delta \cdot t}$$v=v_0 e^{-2\delta \cdot t}$. 振幅随时间关系 $A=A_0{e}^{-2\delta \cdot t}$$A=A_0 e^{-2\delta \cdot t}$.

总路程 ${\displaystyle S=4\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=4A_0\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\beta T}=\frac{4A_0}{1-e^{-\beta T}}}$$\displaystyle S=4\sum_{i=0}^\infin A_i=4A_0 \sum_{i=0}^\infin e^{-i\beta T}=\frac{4A_0}{1-e^{-\beta T}}$.

习题

• 简谐振动的方程 ${\displaystyle -kx=m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}}$$\displaystyle -kx=m\frac{\mathrm d ^2 x}{\mathrm d t^2}$ $\ddot{x}+{\omega }^{2}x=0$$\ddot{x}+\omega^2 x=0$ $F_{\text{合}}=-k^{\ast }x+F_0$$F_{合}=-k^* x+F_0$

  • 如果不齐次，如 $-kx+F_0={\displaystyle m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}}$$-kx+F_0=\displaystyle m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}$，做变换 $x^{\prime }=x-{\displaystyle \frac{F_0}{k}}$$x'=x-\displaystyle \frac{F_0}{k}$. 而且考虑问题在平衡位置附近比较好。

  • ${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}$$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ $T=2\pi /\omega$$T=2\pi/\omega$. $f=\omega /2\pi$$f=\omega/2\pi$.

  • 最大位移 $A$$A$ 最大速度 $A\omega$$A\omega$ 最大加速度 $A{\omega }^2$$A\omega^2$

  • 最大角度 ${\theta }_m$$\theta_m$ 最大角速度 $\dot{\theta }={\theta }_m\omega$$\dot \theta=\theta_m \omega$ 最大角加速度 $\ddot{\theta }={\theta }_m{\omega }^2$$\ddot \theta=\theta_m \omega^2$

• 振动式：

  $$\boxed{{\displaystyle x=A\cos (\omega t+\phi )}}$$

  1. 振幅 $A$$A$ Amplitude.

  2. 周期 $T$$T$ 完成一次全振动所经历的时间。

  3. 频率 $\nu$$\nu$：单位时间内完成全振动的次数。

  4. 角频率 $\omega$$\omega$

  5. 相位 $\mathrm{\Phi }=(\omega t+\phi )$$\Phi=(\omega t+\varphi)$

• 简谐振动的能量 ${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=E=\frac{1}{2}k{A}^2}$$\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E=\frac{1}{2}kA^2$. $E_k+E_p=E$$E_k+E_p=E$.

  • 求导可得 ${\displaystyle mav+kvx=0\Rightarrow ma+kx=0}$$\displaystyle mav+kvx=0 \Rightarrow ma+kx=0$.

• 微振动的近似 ${\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{mg{r}_c}{J}}\stackrel{J=m{r}_c^2}{=}\sqrt{\frac{g}{r_c}}}$$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{mgr_c}{J}}\overset{J=mr_c^2}=\sqrt \frac{g}{r_c}$

• 证明体系做简谐振动

  • 力学方法、受力分析：$\ddot{x}+{\omega }^{2}x+C=0$$\ddot{x}+\omega^2 x+C=0$.

  • 能量方法：利用机械能守恒。${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2=E=\frac{1}{2}k{A}^2}$$\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2=E=\frac{1}{2}kA^2$ ${\displaystyle \frac{1}{2}{J}_C{\dot{\theta }}^2+\frac{1}{2}mg{r}_c{\theta }^2=E=\frac{1}{2}mg{r}_c{\theta }_m^2}$$\displaystyle \frac{1}{2}J_C\dot\theta^2+\frac{1}{2}mgr_c\theta^2=E=\frac{1}{2}mgr_c\theta_m^2$