大物期末速查

稳恒电流

电源电动势 代表将单位正电荷从电源负极移动到正极过程中电源中的非静电力所做的功：

E = \int_{-}^{+} E_{k} \cdot d l

电流代表单位时间内通过导体截面的电荷量：

I = \frac{d q}{d t}

电流密度 的大小为单位时间内通过导体截面单位面积的电荷量，方向垂直于导体截面：

j = \frac{d q}{d t d S_{⊥}} = \frac{d I}{d S_{⊥}} e_{n}

I = \iint_{S} j \cdot d S

$j$ $n$ $q$ $\boldsymbol v_d$ 的关系：

j = \frac{d q}{d t d S_{⊥}} = \frac{n q d V}{d t d S_{⊥}} = \frac{n q d S_{⊥} \cdot v_{d} d t}{d t d S_{⊥}} = n q v_{d}

j = n q v_{d}

欧姆电导模型，为了解释欧姆定律，作出假设：

碰撞后的运动轨迹，与上一次碰撞前的运动状态完全无关。
碰撞过程会完全损失掉获得的电势能。

则得出：

J = γ E \propto E γ = \frac{n e^{2} τ}{2 m_{e}}

磁感应强度

$\boldsymbol{B}$ $\mathrm{N}$ $v$ $|\boldsymbol{F}|$ $\theta$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{B}$ 的大小：

B = \frac{| F |}{| q | v \sin θ}

$\boldsymbol{B}$ $\mathrm{T}$ $\boldsymbol v$ $q$ $\boldsymbol B$ 中受力为：

F = q v \times B

毕奥-萨伐尔定律

$\displaystyle \boldsymbol r$ $P$ $\boldsymbol l$ $L$ $P$ 点处的磁感应强度为

B = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{L} \frac{I d l \times r}{r^{3}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{L} \frac{I d l \times e_{r}}{r^{2}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{L} \frac{I d l \sin θ}{r^{2}}

电流元可以这么理解：

I d l = S (n q_{e} v_{d}) d l = S (n q_{e} v_{d}) d l = n (S d l) q_{e} v_{d} = v_{d} d q

$\boldsymbol v_d$ $\mathrm d q$ . 那么，等价于：

B = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{d q v_{d} \times r}{r^{3}}

推导常见电流分布的空间磁场：
$\displaystyle B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi d}\left(\cos \theta_{1}-\cos \theta_{2}\right)$ $\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$ .
$\color{red}\displaystyle \frac{\mu_0 IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}=\frac{\mu_0 IR^2}{2r^3}$ $z$ $r$ $R$ 代表圆环形电流的半径。
$z=0$ $\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2R}$ .
这个结论比较重要也不是那么容易推导，建议记住。
$\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2R} \frac{\theta}{2\pi}$ .
$\displaystyle \frac{\mu_0 nI}{2}(\cos \beta_2-\cos \beta_1)$ $\mu_0 nI$ $\frac{1}{2}\mu_0 nI$ $nI$ $\alpha$ $B=\mu_0\alpha$ .
请指出它们之间的互相联系。

根据磁场的对称性，选择安培环路，使得环路上磁感应强度大小恒等（环形/矩形）。
$\boldsymbol B$ 矢量叠加。

$n$ 为单位长度的螺线管圈数，即线密度）：
转换为无限长载流导线的磁场。
$B=\left\{ \begin{aligned} &\frac{\mu_0 I}{2\pi r}&, r>R\\ &0&, r<R \end{aligned} \right.$ .
$B=\left\{ \begin{aligned} &\frac{\mu_0 I}{2\pi r}&, r>R\\ &\frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}&, r<R \end{aligned} \right.$ .
$B=\mu_0 NI/L=\mu_0 n I$ $\displaystyle B=\frac{\mu_0 NI}{2\pi R}=\mu_0 nI$ .
无限大均匀平面电流（磁场强度分布的性质为：只有和平面平行的分量、关于平面对称的位置磁场强度相反）
$B = \frac{μ_{0} α}{2}$
$B=\mu_0\alpha$ ，其余区域磁场强度相互抵消，强度为零。类似于电容器。
磁压强的计算：
$P = \frac{F}{S} = \frac{B I L}{S} = \frac{B α d L}{S} = α B$
叠加原理的应用：通电圆柱体内挖掉一个小圆柱体，怎么算？

磁场对载流导线的作用

磁场对载流导线的作用力称为 安培公式，即：

F = \int_{L} I d l \times B

$\mathrm d \boldsymbol l$ $\boldsymbol F=I\boldsymbol L \times \boldsymbol B$ .

载流线圈受磁矩定义为：

m = N I S n = N I S

$\boldsymbol n$ $\boldsymbol B$ ，则受到的 磁力矩 为：

M = m \times B

如果不是匀强磁场，还是根据力矩的定义，积分计算。

$\Delta \Phi_m$ ，则 磁力矩的功：

A = I Δ Φ_{m}

导线之间的相互作用力：

\frac{d F_{12}}{d l} = \frac{d F_{21}}{d l} = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I_{1} I_{2}}{d}

霍尔效应：

U_{H} = \frac{1}{q n} \frac{I B}{d}

磁场和物质的相互作用

磁介质磁化理论：分子电流的观点；磁荷的观点。

$\boldsymbol B_0$ $\boldsymbol B'$ ，总磁场：
$B = B_{0} + B^{'} = (1 + χ_{m}) B_{0} = μ_{r} B_{0}$
- $\mu_r<1$ 抗磁质(铜、铋、硫、氢、银等)
- $\mu_r >1$ 顺磁质(锰、铬、铂、氧、氮等)
- $\mu_r \gg 1$ 铁磁质(铁、钴、镍等)
- $\mu_r=0$ 完全抗磁性
由于电子角动量在外加磁场中的进动效应，使得物质表现出抗磁性质。
分子电流的角度，研究磁化强度矢量：
$M = lim_{Δ V \to 0} \frac{\sum_{Δ V} μ_{m i}}{Δ V}$
$\boldsymbol \mu_{mi}$ $\mathrm{A/m}$ .
$\boldsymbol e_n$ ，则磁化电流线密度：
$\begin{matrix} α^{'} = M \times e_{n} \\ α = M \sin φ \end{matrix}$
$\boldsymbol e_n$ 需要满足：1. 垂直于介质表面；2. 朝外。
介质中磁场的高斯定理：
$∯_{S} B \cdot d S = 0$
介质中磁场的安培环路定理：
$\oint_{L} B \cdot d l = μ_{0} \underset{传导电流}{\underset{⏟}{\sum_{L 内} I_{0}}} + μ_{0} \underset{磁化电流}{\underset{⏟}{\sum_{L 内} I^{'}}}$
为了去除磁化电流的影响，定义磁场强度矢量：
$H = \frac{B}{μ_{0}} - M$
满足：
$\int_{L} H \cdot d l = \sum_{L 内} I_{0}$
$\boldsymbol M=\chi_m \boldsymbol H$ ，可以推得磁感应强度和磁场强度的关系如下：
$\begin{matrix} B = μ_{0} (H + M) = μ_{0} \underset{≐ μ_{r}}{\underset{⏟}{(1 + χ_{m})}} H \\ = \underset{≐ μ}{\underset{⏟}{μ_{0} μ_{r}}} H = μ H \end{matrix}$
$\boldsymbol H\equiv 0$ $\boldsymbol B=\mu_0 \boldsymbol M$ .
$B_{1n}=B_{2n}$ $H_{1t}=H_{2t}$ .
$I_0$ $\boldsymbol H$ $\boldsymbol B=\mu \boldsymbol H$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol H=\frac{\boldsymbol B}{\mu_0}-\boldsymbol M$ $\boldsymbol M$ $\boldsymbol \alpha'=\boldsymbol M\times \boldsymbol e_n$ 求解磁化电流的线密度。

区分
$B$ $T$ .
$H$ $\mathrm{A/m}$ . 和电流线密度同量纲。
$M$ $\mathrm{A/m}$ .

电磁感应

当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与穿过回路的磁通量对时间的变化率成正比。

ε = - \frac{d Φ_{m}}{d t}

法拉第电磁感应定律 $N$ $\Phi_m$ $\Psi_m=N\Phi_m$ ，即磁通匝链数。

$R$ $q$ ，我们有：

q = \int i d t = \int \frac{ε}{R} d t = - \int \frac{d Φ_{m}}{R d t} d t = - \frac{Δ Φ_{m}}{R}

$\Phi_m$ $\boldsymbol B\cdot \boldsymbol S$ ，可得：

ε = - \frac{d Φ_{m}}{d t} = - \frac{d (B \cdot S)}{d t} = \underset{感 生}{\underset{⏟}{- \frac{d B}{d t} \cdot S}} \underset{动 生}{\underset{⏟}{- \frac{d S}{d t} \cdot B}}

动生电动势（原始公式）：
$ε = \int_{L} (v \times B) \cdot d l$
$\boldsymbol v\times \boldsymbol B$ $\boldsymbol v\times \boldsymbol B$ ，化曲为直，即：
$ε = (v \times B) \int_{L} \cdot d l = (v \times B) \cdot l$
当不满足这些条件，例如不是匀强磁场，不是平动而是转动，可以利用法拉第电磁感应定律或者利用 原始公式 计算。
$\frac{1}{2}B\omega L^2$ ）法拉第圆盘（旋转的杆并联）刚体（平动+转动）绕轴旋转圆弧（作业 15-8）：
$ε = ω R^{2} B \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \sin^{2} θ d θ = ω R^{2} B {(\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin 2 θ) |}_{θ_{1}}^{θ_{2}}$
感生电动势（涡旋电场，有旋无源场）：
$- \iint_{S} \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d S = \oint_{l} E_{k} \cdot d l$
$t$ 求导，否则就变成磁通量了。
$\boldsymbol E_k\perp \mathrm d \boldsymbol l$ .
区分 电动势 和 电势差，前者是通过涡旋电场公式直接计算而来的，是导体回路固有的属性；后者还要结合回路中的电流考虑。

自感和互感

自感 $I$ ：

Ψ = \underset{自 感 系 数}{\underset{⏟}{L}} I

$I$ $I$ $B$ $\Psi=NBS=LI$ $L$ .

$n$ $L=\mu n^2 V$ .

互感：根据毕奥萨伐尔定律，有：

Ψ_{21} = M_{21} I_{1} Ψ_{12} = M_{12} I_{2} M_{12} = M_{21}

$I$ $B_1$ $B_1$ $\Psi_{21}$ $\Psi_{21}=N_2B_1S_2=MI$ $M$ .

$L=L_1+L_2\pm 2M$ $k$ $M=k\sqrt{L_1L_2}$ $k$ $1$ ，耦合越紧密。

磁场能量

自感：

W_{m} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}

互感：

W_{m} = \frac{1}{2} L_{1} I_{1}^{2} + \frac{1}{2} L_{2} I_{2}^{2} \pm M I_{1} I_{2}

任意磁场空间的磁能：

W_{m} = \int_{V} w_{m} d V w_{m} = \frac{1}{2} B H

Q: 如何使用磁场能量计算线圈的自感和互感？

$I,\Phi,\varepsilon$ 的关系

$\displaystyle \varepsilon = -\frac{\mathrm d \Phi_m}{\mathrm d t}$ $\varepsilon$ $\Phi$ 的关系；
$\displaystyle I=\frac{\varepsilon}{R}$ $\varepsilon$ $I$ 的关系；
$\Psi_1=L_1I_1+M_{12}I_2$ $\Psi(\Phi)$ $I$ 的关系。

麦克斯韦电磁理论

之前理论没涉及到的部分：变化的磁场能产生涡旋电场（电磁感应），变化的电场能产生磁场吗？实验说明是可以的，原先计算磁场强度的公式应该考虑变化的电场。定义 位移电流密度和位移电流：

j_{d} = \frac{\partial D}{\partial t} I_{d} = \iint_{S} \frac{\partial D}{\partial t} d S

$\boldsymbol j_d$ $I_d$ $\boldsymbol D$ 的变化率的方向一致。

考虑位移电流，对 磁环路定理 做修正，如下：

\oint_{l} H \cdot d l = \iint_{S} (j_{c} + \underset{j_{d}}{\underset{⏟}{\frac{\partial D}{\partial t}}}) \cdot d S = I_{c} + I_{d}

至此，我们可以完整地写出 麦克斯韦方程组：

\begin{matrix} {\begin{aligned} ∯_{S} D \cdot d S = q_{0} \\ ∯_{S} B \cdot d S = 0 \\ \oint_{l} E \cdot d l = - \iint_{S} \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d S \\ \oint_{l} H \cdot d l = I + \iint_{S} \frac{\partial D}{\partial t} \cdot d S \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} {\begin{aligned} \nabla \cdot D = ρ \\ \nabla \cdot B = 0 \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times H = J_{c} + \frac{\partial D}{\partial t} \end{aligned} \end{matrix}

$q_0$ $I$ ，有：

\begin{matrix} {\begin{aligned} \nabla \cdot D = 0 \\ \nabla \cdot B = 0 \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} \end{aligned} \end{matrix}

方程组的解满足：

\nabla^{2} E = μ ε \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}} \nabla^{2} H = μ ε \frac{\partial^{2} H}{\partial t^{2}}

电磁波

如果研究一维的情况可得：

\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} = μ ε \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}} = μ ε \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial t^{2}}

根据波速：

u = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}} = c

可知电磁波的波速和光速相等。其中一组解为：

\begin{matrix} E_{y} = E_{0} \cos ω (t - \frac{x}{u}) \\ H_{z} = H_{0} \cos ω (t - \frac{x}{u}) \end{matrix}

$\boldsymbol E\perp \boldsymbol H, \boldsymbol u // \boldsymbol E\times \boldsymbol H$ $\boldsymbol E\gg \boldsymbol H$ .

$\boldsymbol E,\boldsymbol H$ 各自有振动面，不会改变振动面）
$\boldsymbol E\times \boldsymbol H$ 方向。
相位是相同的。

电磁波能量

$\displaystyle w_m=\frac{1}{2}\boldsymbol B\cdot \boldsymbol H=\frac{1}{2} \mu H^2$ .

$\displaystyle w_e = \frac{1}{2}\boldsymbol D \cdot \boldsymbol E=\frac{1}{2}\varepsilon E^2$ .

$\boxed{\varepsilon E^2=\mu H^2}$ . 可得 电磁场的能密度：

w = \underset{w_{e}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} ε E^{2}}} + \underset{w_{m}}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} μ H^{2}}} w_{e} = w_{m}

代入，得到 能流密度（单位时间内流入的能量）：

S = w u = ε E^{2} c = \sqrt{ε μ} E H \cdot \frac{1}{\sqrt{ε μ}} = E H

$\boldsymbol S=\boldsymbol E\times \boldsymbol H$ . 另一个名字叫做玻印亭矢量。

如果取平均，可以得到 电磁波强度（平均能流密度）：

I = \overset{―}{S} = \frac{1}{2} E_{0} H_{0}