uploaded_Ch1-随机事件和概率

随机事件及其运算

随机试验和随机事件

随机试验

可在相同条件下重复进行；
所有可能结果不止一个，而且在试验之前应该是已知的；
每次试验后所得到的结果应该在已知所有可能结果中，并且事先无法预知会出现哪个结果.

随机现象

在一次观察或试验中其结果是具有随机性的
在大量重复观察或试验中，出现的结果有一定的规律性（称为统计规律性）

本课程的主要研究问题之一

随机试验中某些可能发生，也可能不发生的事件（随机事件）发生的可能性的大小（概率）

$E$ $\Omega$ 。
$E$ $\omega$ $\Omega = \{\omega\}$ . 每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件。
$\Omega$ $A,B,\cdots,$ 它是满足某些条件的样本点组成的集合。随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样本点发生。
$\Omega$ ，每次试验必定发生的事件。
$\empty$ ，每次试验不发生的事件。

随机事件之间的关系和运算

包含关系 $A \subset B$ .

和事件 $A \cup B$ .

积事件 $A \cap B=AB$ .

差事件 $A-B=A\overline{B}=A-AB$ .

互不相容事件 $AB=\varnothing$ .

对立事件（或互逆事件） $AB=\varnothing, A\cup B=\Omega$ $\Rightarrow A=\overline{B}$ .

集合运算律

$\overline{(\overline{A}\overline{B}\cup C)\overline{AC}}$

\begin{matrix} = \overset{―}{\overset{―}{A} \overset{―}{B} \cup C} \cup (A C) \\ = (\overset{―}{\overset{―}{A} \overset{―}{B}} \cap \overset{―}{C}) \cup (A C) \\ = (A \cup B) \cap \overset{―}{C} \cup A C \\ = A (C \cup \overset{―}{C}) \cup (B \overset{―}{C}) \\ = A Ω \cup (B \overset{―}{C}) = A \cup B \overset{―}{C} \end{matrix}

随机事件的概率

频率和概率

$A$ $A$ 概率 $P(A)$ .

$n$ $A$ $m$ $\displaystyle f_n(A)=\frac{m}{n}$ $A$ 发生的频率。

频率的性质

$0 \le f_n(A) \le 1$ 非负性
$f_n(\Omega)=1$ 规范性
$A,B$ $f_n(A \cup B) = f_n(A)+f_n(B)$ 可加性
$A_1 \sim A_n$ $f_n (\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n f_n(A_i)$
$\lim_{n \to \infin} f_n(A)=P(A)$ 稳定性

概率的公理化定义

$\forall A \sub \Omega , P(A) \ge 0$ .
$P(\Omega)=1$ .
$P(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)$ $A_1 \sim A_n$ 两两互斥

古典概型

古典概型是样本点离散的情况

几何概型

$\Omega$ $\Omega$ $G$ $G$ $G$ 内的概率为

P (A) = \frac{G 的测度}{Ω 的测度}

概率的基本性质

$P(\varnothing)=\mathbf{0}$
有限可加性 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ $P\left(\cup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{i=1}^n P\left(A_i\right)$
$A \subset B$ $P(B-A)=P(B)-P(A) \Rightarrow P(A) \leq P(B)$
$A, B$ $P(B-A)=P(B)-P(A B)$
加法公式 $A, B$ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

P (A \cup B) \leq P (A) + P (B)

加法公式的推广
$P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (B C) + P (A B C)$
一般情况（容斥原理）
$\begin{matrix} P (\cup_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) - \sum_{1 \leq i < j \leq n} P (A_{i} A_{j}) \\ + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} P (A_{i} A_{j} A_{k}) + \dots + (- 1)^{n - 1} P (A_{1} \dots A_{n}) \end{matrix}$

条件概率

$B$ $A$ $P(A\mid B)$ $P(A \mid B) \not= P(A)$ .

乘法公式

\begin{matrix} P (A B) = P (A) P (B ∣ A) (P (A) > 0) \\ P (A B) = P (B) P (A ∣ B) (P (B) > 0) \end{matrix}

三个的情况：

\begin{matrix} P (A_{1} A_{2}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) \\ P (A_{1} A_{2} A_{3}) = P (A_{1} A_{2}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \end{matrix}

$P(A_1A_2)=P(A_1) P(A_2 \mid A_1)$ .
$P(A_2)=P(A_1A_2 \cup \overline{A_1}A_2)=P(A_1A_2)+P(\overline{A_1}A_2)$ $A_1$ 发生与否）
$P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3)$ .
$\displaystyle P(\overline{A_1} \mid A_2)=\frac{P(\overline{A_1}A_2)}{P(A_2)}=\frac{P(\overline{A_1})P(A_2 \mid \overline{A_1})}{P(A_1A_2)+P(\overline{A_1}A_2)}$ 贝叶斯公式

完备事件组

$B_1,B_2,\cdots,B_n$ $\displaystyle \Omega=\cup_{i=1}^nB_i$ $B_1,B_2,\cdots,B_n$ $B_1,B_2,\cdots,B_n$ $\Omega$ 的一个划分。

全概率公式

A = \cup_{i = 1}^{n} A B_{i}, (A B_{i}) (A B_{j}) = \emptyset

P (A) = P (\cup_{i = 1}^{n} A B_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A B_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})

Bayes 公式

$A$ $P(A)>0$ $B_1,B_2,\cdots,B_n$ $A$ $A$ $A$ $B_i$ 的概率：

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P (A B_{i})}{P (A)} = \frac{P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})}{\sum_{j = 1}^{n} P (B_{j}) P (A ∣ B_{j})}, i = 1, 2, \dots, n

$P(B_i)$ ：先验概率；
$P(B_i \mid A)$ ：后验概率。

P (A B C) = P (C ∣ A B) \cdot P (A B) = P (C ∣ A B) \cdot P (B ∣ A) \cdot P (A)

随机事件的独立性

$P(AB)=P(A)P(B)$ $A$ $B$ 相互独立。

$A$ $B$ $P(A)=P(A\mid B),P(B)=P(B \mid A)$ .

$A$ $B$ $A$ $\overline{B}$ 相互独立。

$A,B,C$ 相互独立是指下面的关系式同时成立：

{\begin{cases} P (A B) = P (A) P (B) \\ P (A C) = P (A) P (C) \\ P (B C) = P (B) P (C) \end{cases} P (A B C) = P (A) P (B) P (C)

前者指两两独立，如果再满足后者，称为相互独立。

往年题目

$P(\overline{A}\ \overline{B})=1-P(A)-P(B)+P(AB)$ . 直接暴力展开：

\frac{P (A B)}{P (B)} + \frac{1 - P (A) - P (B) + P (A B)}{1 - P (B)} = 0

可得：

P (A B) = P (A) P (B)

$P(\overline{A}\ \overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})$