uploaded_Ch3-多维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布

$E$ $\Omega$ $\Omega$ $\omega$ $(X(\omega),Y(\omega))$ $(X,Y)$ $(X,Y)$ 为 二维随机变量。

$\omega$ $X(\omega)$ $Y(\omega)$ 对应其概统成绩。

$(X,Y)$ $x,y$ $F(x,y)=P(\{X \leqslant x\} \cap\{Y \leqslant y\})=P(X \leqslant x,Y \leqslant y)$ $(X,Y)$ 的 联合分布函数，简称为分布函数或联合分布。

二维前缀和

其性质：

$0 \leqslant F(x,y) \leqslant 1$ $x,y$ $F(-\infty,y)=0,\quad F(x,-\infty)=0,\quad F(-\infty,-\infty)=0,\quad F(+\infty,+\infty)=1$
$F(x,y)$ 固定其中一个变量，它关于另一个变量是单调不减的函数，即：
- $y$ $x_{1}<x_{2}$ $F\left(x_{1},y\right) \leqslant F\left(x_{2},y\right)$ ;
- $x$ $y_{1}<y_{2}$ $F\left(x,y_{1}\right) \leqslant F\left(x,y_{2}\right)$ .
$F(x,y)$ 固定其中一个变量，它关于另一个变量是右连续函数，即
$F (x + 0, y) = F (x, y), F (x, y + 0) = F (x, y) .$
$a,b,c,d$ $a<b,c<d$ ，下述结论成立：
$F (b, d) - F (a, d) - F (b, c) + F (a, c) = P (a < X \leq b, c < Y \leq d) \geq 0$
tips: 相当于容斥原理，注意不等号能不能去到
作为二元函数是否能够成为某个二维随机变量的分布函数的判断条件。
$P(X>a,Y>c)=P(a<X < +\infin,c<Y< +\infin)=1-F(+\infty,c)-F(a,+\infty)+F(a,c)$

$(X,Y)$ $F(x,y)$ $X$ $Y$ $F_{X}(x)$ $F_{Y}(y)$ $(X,Y)$ $X$ $Y$ 的 边缘分布函数.

由分布函数的定义可得联合分布函数和边缘分布函数的关系，

F_{X} (x) = P (X \leq x) = P (X \leq x, Y \leq + \infty) = F (x, + \infty)

同理可得

F_{Y} (y) = F (+ \infty, y)

$F_{X}(x)$ $F_{Y}(y)$ ，反之不然.

二维离散型随机变量及其分布律

定义

$(X,Y)$ 可列 $(X,Y)$ 为 二维离散型随机变量。(和一维的情况差不多)

$(X,Y)$ $\left(x_{i},y_{j}\right)$ $i,j=1,2,\cdots$ $P\left(X=x_{i},Y=y_{j}\right)=p_{i j}$ $i,j=1,2,\cdots$ $(X,Y)$ 的联合分布律或联合分布列，简称为 分布律。

容易看出分布律具有如下性质：

$p_{i j} \geqslant 0(i,j=1,2,\cdots)$ ;
$\sum_{i} \sum_{j} p_{i j}=1$ .

$p_{i j}(i,j=1,2,\cdots)$ 满足上述两条性质，就可以作为某个二维离散型随机变量的分布律。

分布律和分布函数的关系

二维离散型随机变量的分布函数与分布律互为确定，其分布函数可按下式求得：

F (x, y) = \sum_{x_{i} \leq x} \sum_{y_{i} \leq y} p_{i j}

容易知道，二维离散型随机变量的两个分量均为离散型随机变量，且其分布律分别如下所示：

\begin{array}{l} P (X = x_{i}) = \sum_{j i} p_{i j} ≜ p_{i \cdot}, i = 1, 2, \dots \\ P (Y = y_{j}) = \sum_{i} p_{i j} ≜ p_{\cdot j}, j = 1, 2, \dots \end{array}

$P\left(X=x_{i}\right)$ $P\left(Y=y_{j}\right)$ $(X,Y)$ $X$ $Y$ 的 边缘分布律。

二维连续型随机变量

$(X,Y)$ $F(x,y)$ 非负可积 $f(x,y)$ $(x,y)$ ，有

F (x, y) = \int_{- \infty}^{x} \int_{- \infty}^{y} f (u, v) d u d v

$(X,Y)$ $f(x,y)$ $(X,Y)$ 的 联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合密度。满足以下性质：

$f(x,y) \ge 0$ .
$F(+\infin,+\infin)=1,F(-\infin,\cdot)=0,F(\cdot ,-\infin)=0$ .

$f(x,y)$ $(X,Y)$ $D$ 的概率：

P ((X, Y) \in D) = \iint_{D} f (x, y) d x d y

$f(x,y)$ 的 连续点 处，有：

\frac{\partial^{2} F (x, y)}{\partial x \partial y} = f (x, y)

边缘概率密度函数

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d x

二维均匀分布

$(X,Y)$ $G$ 上取值，且它的联合概率密度为

\begin{matrix} f (x, y) = {\begin{cases} \frac{1}{G 的 面 积}, & (x, y) \in G; \\ 0, & else . \end{cases} \end{matrix}

$(X,Y)$ $G$ 上的均匀分布。

二维正态分布

$(X,Y)$ 的联合概率密度为

f (x, y) = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp {- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} [\frac{{(x - μ_{1})}^{2}}{σ_{1}^{2}} - 2 ρ \frac{(x - μ_{1}) (y - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{{(y - μ_{2})}^{2}}{σ_{2}^{2}}]}

$\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho$ $(X,Y)$ 服从二维正态分布，记为：

(X, Y) \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2}; μ_{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

通过积分得边缘概率密度为：

f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{1}} e^{- \frac{(x - μ_{1})^{2}}{2 σ_{1}^{2}}}, f_{Y} (y) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ_{2}} e^{- \frac{(x - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}}}

$X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ $\rho$ .

$\boldsymbol X$ $\boldsymbol Y$ $\boldsymbol{(X,Y)}$ 的联合分布。

$\rho=0$ $X,Y$ $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ .

通过联合概率密度函数：

f (x, y) = \frac{1}{2 π} e^{- (x^{2} + y^{2}) / 2} (1 + \sin x \sin y), - \infty < x < + \infty, - \infty < y < + \infty

$f_X(x)$ $f_Y(y)$ .

由边缘概率密度的公式，可以得到：

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{2 π} e^{- (x^{2} + y^{2}) / 2} (1 + \sin x \sin y) d y = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} / 2} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- y^{2} / 2} d y = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$e^{-y^2/2} \sin y$ 是 奇函数。

$X,Y$ $(X,Y)$ 是不是一定服从二维正态分布？不一定，就像这题可以叠加一个奇函数之类的东西。

二维随机变量的条件分布

例如，研究儿童发育情况，需要了解在给定身高下体重的分布、给定体重下身高的分布。

二维离散型随机变量的条件分布

$(X,Y)$ $j$ $P(Y=y_i)>0$ ，则称

P (X = x_{i} ∣ Y = y_{i}) = \frac{P (X = x_{i}, Y = y_{i})}{P (Y = y_{i})} = \frac{p_{i j}}{p_{\cdot j}}, i = 1, 2, \dots

$\{Y=y_i\}$ $X$ 的条件分布律。

满足的性质：

$P(X=x_i \mid Y=y_i)\ge 0$ .
$\sum_i P(x=x_i \mid Y=y_i)=1$ .
$P(X=x_i,Y=y_i)=P(X=x_i \mid Y=y_i) P(Y=y_i)$ .
$P(X=x_i)=\sum_j P(Y=y_i) P(X=x_i \mid Y=y_i)$ .

二维连续型随机变量的条件分布

$P(X=x_i,Y=y_i)$ $P(Y=y_i)$ 都为零，因此不能这么计算。

$G=\{(x,y) \mid x^2+y^2 \le r^2\}$ $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ .

$-r < x <r$ $x$ $Y$ $(-\sqrt{r^2-x^2},\sqrt{r^2+x^2})$ 内服从均匀分布，因此

\begin{matrix} f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = {\begin{aligned} \frac{1}{2 \sqrt{r^{2} - x^{2}}}, & - \sqrt{r^{2} - x^{2}} < y < \sqrt{r^{2} - x^{2}}, \\ 0, & 其 他, \end{aligned} \end{matrix}

可以得到：

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f (x, y)}{f_{Y} (y)}

$f_Y(y)$ $f(x,y)$ 的概率。

称：

F_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \int_{- \infty}^{x} f_{X ∣ Y} (u ∣ y) d u = \int_{- \infty}^{x} \frac{f (u, y)}{f_{Y} (y)} d u

$Y=y$ $X$ 的条件分布函数。

这个公式反过来用，可以通过条件概率密度函数和边缘分布函数计算得到联合分布概率密度函数。

f (x, y) = f_{X ∣ Y} (x ∣ y) f_{Y} (y)

$Y>0$ $X>1/2,Y>0$ 的部分所占的比例。

随机变量的独立性

$X$ $Y$ $Y$ $X$ $X,Y$ 相互独立，这里给出两个随机变量相互独立的定义：

连续型 $(X,Y)$ $x,y$ $P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x )P(Y \le y)$ $X$ $Y$ 相互独立。联合分布律等于边缘分布律的乘积，联合概率密度等于边缘概率密度的乘积
离散型 $P(X=x_i,Y=y_i)=P(X=x_i)P(Y=y_i)$ $p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$ .

如果相互独立，则：

\begin{matrix} f_{X} (x) = f_{X ∣ Y} (x ∣ y) \\ f_{Y} (y) = f_{Y ∣ X} (y ∣ x) \end{matrix}

$f_{X\mid Y}(x \mid y)=f(x,y)/f_Y(y)=f_X(x)$ .

$X,Y$ $g(x)$ $h(y)$ $g(X)$ $h(Y)$ 也相互独立。

计算出：

\begin{matrix} P (X = 1, Y = n), P (X = 0, Y = n); \\ P (X = 1), P (X = 0); \\ P (Y = n) \end{matrix}

验证相乘结果即可。

先计算边缘分布函数：

对于 (1)：

\begin{matrix} f_{X} (x) = \int_{x^{2}}^{1} 6 x y d y = 3 x (1 - x^{4}) for - 1 < x < 1 \\ f_{Y} (y) = \int_{0}^{\sqrt{y}} 6 x y d x = 3 y^{2} for 0 < y < 1 \end{matrix}

因此显然不独立。

对于 (2)：

$f(x,y)=2x \cdot 2y$ ，应该是独立的。

独立性定理 $(X,Y)$ $f(x,y)$ $(X,Y)$ $X$ $Y$ $r(x)$ $g(y)$ ，使得：

f (x, y) = r (x) g (y)

在一切连续点上成立，此时：

f_{X} (x) = \frac{r (x)}{\int_{- \infty}^{+ \infty} r (x) d x}, f_{Y} (y) = \frac{g (y)}{\int_{- \infty}^{+ \infty} g (y) d y}

$n$ 维随机变量

分布函数的定义 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $n$ $x_1,x_2 \cdots,x_n \in \R$ $F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P(X_1 \le x_1,X_2 \le x_2,\cdots, X_n \le x_n)$ $n$ $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的 联合分布函数。

$k$ 维边缘分布函数 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $k$ 个变量，构成的边缘分布函数。

独立性 联合分布函数等于一维边缘分布函数的乘积。

$n$ 离散型随机变量 当变量的取值有限或可列时，称为离散型随机变量。

独立性 $P(X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n)=P(X_1=x_1)P(X_2=x_3)\cdots P(X_n=x_n)$ .

独立性 $n$ $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $n$ $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 处有：

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) \dots f_{X_{n}} (x_{n})

$x_1,x_2,\cdots,x_n \in \R$ .

多维随机变量函数的分布

多维离散型随机变量函数的分布

$X$ $Y$ $Z=X+Y$ 的分布？

P (Z = r) = P (X + Y = r) = \sum_{i = 0}^{r} P (X = i, Y = r - i)

$X$ $Y$ 相互独立时，则

P (Z = r) = \sum_{i = 0}^{r} P (X = i) P (Y = r - i)

$X_1,X_2 \sim P(\lambda)$ $X=X_1+X_2$ ，则：

\begin{aligned} P (X = r) & = \sum_{i = 0}^{r} P (X_{1} = i) P (X_{2} = r - i) \\ = \sum_{i = 0}^{r} \frac{λ^{i}}{i!} e^{- λ} \frac{λ^{r - i}}{(r - i)!} e^{- λ} \\ = e^{- 2 λ} \sum_{i = 0}^{r} \frac{λ^{r}}{i! (r - i)!} \\ = e^{- 2 λ} \frac{1}{r!} \sum_{i = 0}^{r} C_{r}^{i} λ^{r} \\ = \frac{λ^{r} (1 + 1)^{r}}{r!} e^{- 2 r} \\ = \frac{(2 λ)^{r}}{r!} e^{- 2 r} \end{aligned} \sim P (2 λ)

$X \sim P(\lambda_1), Y\sim P(\lambda_2)$ $X+Y \sim P(\lambda_1 +\lambda_2)$ .

$X \sim B(n,p),Y\sim B(m,p)$ $X+Y \sim B(n+m,p)$ .

多维连续型随机变量函数的分布

正态随机变量的分布

$(X,Y) \sim N(\mu_1, \sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2, \rho)$ ，则：

X + Y \sim N (μ_{1} + μ_{2}, σ_{1}^{2} + 2 ρ σ_{1} σ_{2} + σ_{2}^{2})

$X,Y$ $\rho=0$ ，……

$X_1,X_2,\cdots,X_n$ $X_i \sim N(\mu_i,\sigma_i^2),i=1,2,\cdots,n$ ，则：

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (\sum_{i = 1}^{n} μ_{i}, \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2})

$\boldsymbol {Z=X+Y}$

$X$ $Y$ $f(x,y)$ $Z=X+Y$ 的概率密度？

从分布函数的定义出发，先去求分布函数，然后再求导。

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} d x \int_{- \infty}^{z - x} f (x, y) d y

可以得到：

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x

或：

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (z - y, y) d y

$x+y=z$ 上的概率。

推广 $Z=aX+bY+c$ $z=ax+by+c$ $x$ ，则

y = \frac{z - a x - c}{b}

因此，

f_{Z} (z) = \underset{y^{'}}{\underset{⏟}{\frac{1}{| b |}}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, \frac{z - a x - c}{b}) d x

首先，可以判断出独立分布，然后代入公式：

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x

$0<z<1$ $x\in(0,z)$ $f(x,y)=1$ $f_Z(z)=z$ .

$1\le z<2$ $x\in (z-1,1)$ $f(x,y)=1$ $f_Z(z)=2-z$ .

$f_Z(z)=0$ .

$\boldsymbol {Z=X/Y}$

F_{Z} (z) = \dots = \iint_{x / y \leq z} f (x, y) d x d y

$z$ 看为常数，则积分区域为：

分为两部分考虑：

= \int_{0}^{+ \infty} (\int_{- \infty}^{y z} f (x, y) d x) d y + \int_{- \infty}^{0} (\int_{y z}^{+ \infty} f (x, y) d x) d y

$z$ 求导：

\begin{matrix} = \int_{0}^{+ \infty} f (y z, y) y d y - \int_{- \infty}^{0} f (y z, y) y d y \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (y z, y) | y | d y \end{matrix}

$\boldsymbol {Z=X^2+Y^2}$

$z \ge 0$ 的情况：

F_{Z} (z) = \iint_{x^{2} + y^{2} \leq z} f (x, y) d x d y

$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,\mathrm d x\mathrm d y=r\mathrm d r\mathrm d \theta$ .

则替换后，形成：

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\sqrt{z}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

$z$ 求导：

f_{Z} (z) = \int_{0}^{2 π} d θ \cdot \frac{1}{2} f (\sqrt{z} \cos θ, \sqrt{z} \sin θ)

$z<0$ $f_Z(z)=0$ .

$X \sim N(0,1),Y\sim N(0,1)$ $X,Y$ $Z=X^2+Y^2$ ，则：

f (X = x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

f_{Z} (z) = \int_{0}^{2 π} d θ \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{2 π} e^{- z^{2} / 2} = \frac{1}{2} e^{- z^{2} / 2}

$z\ge 0$ ）

$\chi^2$ 分布，卡方分布.

极值分布

$X,Y$ $F_X(x),F_Y(y)$ $M=\max\{X,Y\}$ $N=\min\{X,Y\}$ $M,N$ 的分布函数。

还是先求分布函数，

F_{M} (z) = P (max {X, Y} \leq z) = P (X \leq z, Y \leq z) = P (X \leq z) P (Y \leq z)

所以：

F_{M} (z) = F_{X} (z) F_{Y} (z)

F_{N} (z) = P (min {X, Y} \leq z) = 1 - P (min {X, Y} > z) = 1 - (1 - F_{X} (z)) (1 - F_{Y} (z))

串联取决于最短的寿命，并联取决于最长的寿命。分布服从指数分布：

F_{X_{i}} (x_{i}) = 1 - e^{- λ x_{i}}, x_{i} > 0; 0, x_{i} \leq 0

因此，

F_{X_{串}} (z) = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{X_{i}} (z)) = 1 - e^{- λ n z}

f_{X_{串}} (z) \sim E (n λ)

F_{X_{并}} (z) = (1 - e^{- λ z})^{n}

f_{X_{并}} (z) = n λ e^{- λ z} (1 - e^{- λ z})^{n - 1}

$x>0$ . 否则概率为零。

$z>0$ $x,y$ 的范围：

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (X Y \leq z) = \int_{0}^{+ \infty} d x \int_{0}^{z / x} f (x, y) d y

求导之后得到：

f_{Z} (z) = \int_{0}^{+ \infty} - x e^{- (z + x)} d x

多维随机变量函数的联合分布

往年试题

21-4

$E(XY)=0$ $E(X)=E(Y)=0$ （对称）