假设检验的基本概念

统计假设

引入：有一天保健品钙含量的数据，并且按照经验知道保健品中钙含量方差在 ${\sigma }^2={12}^2$$\sigma^2=12^2$。

设随机变量 $X$$X$ 表示这一天每片保健品的钙含量，则：

$$X\sim N(\mu ,{12}^2)$$

检验：

• $H_0:\mu ={\mu }_0=500$$H_0:\mu=\mu_0=500$.

• $H_1:\mu \ne {\mu }_0$$H_1:\mu\not=\mu_0$.

如果原假设正确，则：

$$\bar{X}\sim N({\mu }_0,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

则：

$$U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

因此，${\displaystyle \frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}}$$\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ 取值较大是小概率事件。为什么选取 $U$$U$ 来比较，因为 $U$$U$ 的分布里面没有未知参数。

假设检验的基本原理和步骤

假设检验的基本原理 先对总体的特征作出某种假设，根据统计原理，通过抽样做出对此假设应该拒绝还是接受的推断。

定义概率 $\alpha =0.05,0.01,\cdots$$\alpha=0.05,0.01,\cdots$，称为 检验水平（显著性水平）$\mathit{\alpha }$$\boldsymbol\alpha$. $\alpha$$\alpha$ 越小，检验的标准越宽松，并且最终的结论和 $\alpha$$\alpha$ 也有关。

因此，确定一个常数 $C$$C$，使得：

拒绝域：

接受域：

参数假设检验的步骤

• 提出原假设 $H_0$$H_0$ 和备选假设 $H_1$$H_1$.

原假设和备选假设如何选取，原假设一般是认为系统工作正常，备择假设一旦成立，可能说明系统产生严重的问题。

• 当 $H_0$$H_0$ 为真时，选择合适的检验统计量 $U=g(\mathit{X})$$U=g(\boldsymbol X)$，检验统计量服从的分布已知。

• 计算很小的参数 $\alpha$$\alpha$（显著性水平） 对应的拒绝域 $W$$W$，

  $$P(\mathit{X}\in W)\le \alpha$$

  也就是构造一个小概率事件 $\mathit{X}\in W$$\boldsymbol X\in W$. 当拒绝域位于两侧，称为双侧检验，类似的，在左侧或者右侧称为左侧检验或右侧检验。

• 观察统计量 $U$$U$ 的观测值 $\hat{U}$$\hat U$是否落在拒绝域里面. 由此判断 $\mathit{X}$$\boldsymbol X$ 是否落在 $W$$W$ 中。

• 给出结论，若 $\mathit{X}\in W$$\boldsymbol X\in W$，则拒绝 $H_0$$H_0$，否则接受 $H_0$$H_0$.

两类错误

假设检验的原理 小概率事件在一次实验中基本不发生。是概率意义下的一种反证法思想。可能产生两类错误：拒绝 $H_0$$H_0$ | $H_0$$H_0$ 为真（弃真），$\beta =P($$\beta=P($接收 $H_0$$H_0$ | $H_0$$H_0$ 为假$)$$)$（存伪）

假设检验的原则 控制犯第一类错误的概率不超过 $\alpha$$\alpha$，再尽可能降低犯第二类错误的概率。

比如分析样本服从 $X\sim N(508,{12}^2)$$X\sim N(508,12^2)$，却接收了 $H_0:\mu =500$$H_0:\mu=500$ 的假设。接受域 $[494,504]$$[494,504]$，则：

减小 $\beta$$\beta$ 的方法：

• 例如增大样本容量，取 $\mu =500,n=24$$\mu=500,n=24$，则

  $$\beta =P(494\le \bar{X}\le 504)=-\mathrm{\Phi }\left(\frac{494-508}{12/\sqrt{24}}\right)+\mathrm{\Phi }\left(\frac{504-508}{12/\sqrt{24}}\right)=0.095$$

  从图像上看，就是看两个正态分布 $N({\mu }_0,{\sigma }^2/n)$$N(\mu_0,\sigma^2/n)$ 和 $N(\mu ,{\sigma }^2/n)$$N(\mu,\sigma^2/n)$ 的重合部分。$n$$n$ 越大，方差越小，重合越小。

  

• 如果减小 $\alpha$$\alpha$，则 $\beta$$\beta$ 必然增加。如果增加 $\alpha$$\alpha$，则 $\beta$$\beta$ 必然减小。在样本容量给定的情况下，不能让两个同时变小。

每包化肥的质量服从 $X\sim N(\mu ,4)$$X\sim N(\mu,4)$，假设 $H_0:\mu \ge 50$$H_0:\mu\ge 50$，备择假设 $H_1:\mu <50$$H_1:\mu<50$.

若原假设正确，则：

$$P(\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}<-z_{\alpha })=\alpha$$

但是不知道 $\mu$$\mu$ 的真值，只知道 $\mu \ge 50$$\mu\ge 50$，而：

$$(\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}<-z_{\alpha })\subset (\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}<-z_{\alpha })$$

所以：

$$P(\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}<-z_{\alpha })\le \alpha$$

因此是一个小概率事件。所以取拒绝域：

$$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}<-z_{\alpha }$$

实际使用时取等号。犯第一类错误的概率不超过 $\alpha$$\alpha$.

$\mathit{p}$$\boldsymbol p$ 值检验法

首先计算出统计量的观测值 $u_0$$u_0$，再计算事件 $|U|>|u_0|$$|U|>|u_0|$ 的概率，和概率 $p$$p$ 比较。概率 $p$$p$ 称为检验 $p$$p$ 值。$p$$p$ 值越小，代表观测值和假设越不一致，显著性水平越高。

$\mathit{p}$$\boldsymbol p$ 值检验法一般方法

设 $Z$$Z$ 表示构造的检验统计量，$z_0$$z_0$ 表示根据样本数据计算得到的检验统计量的观测值。

单个正态总体的参数检验

单个正态总体均值的假设检验

当方差 ${\mathit{\sigma }}^{\mathbf{2}}$$\boldsymbol {\sigma^2}$ 已知，可以提出三类原假设和备择假设：

1. $H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$$H_0 : \mu=\mu_0,H_1:\mu \not=\mu_0$；

2. $H_0:\mu \ge {\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$$H_0:\mu \ge \mu_0 ,H_1:\mu<\mu_0$；

3. $H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$$H_0: \mu \le \mu_0,H_1:\mu >\mu_0$.

采用检验统计量：

对于 1.，选取拒绝域（双侧）：

对于 2.3.，选取拒绝域（单侧）：

当方差 ${\mathit{\sigma }}^{\mathbf{2}}$$\boldsymbol{\sigma^2}$ 未知，选取检验统计量：

1. 检验假设 $H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$$H_0: \mu=\mu_0 ,H_1 :\mu \not=\mu_0$，其拒绝域为：

   $$|T|>t_{\alpha /2}(n-1)$$

2. 检验假设 $H_0:\mu \ge {\mu }_0,H_1:\mu <{\mu }_0$$H_0:\mu\ge \mu_0,H_1:\mu<\mu_0$，其拒绝域为：

   $$T<-t_{\alpha }(n-1)$$

3. 检验假设 $H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$$H_0:\mu \le \mu_0,H_1:\mu>\mu_0$，其拒绝域为：

   $$T>t_{\alpha }(n-1)$$

称为 $\mathit{t}$$\boldsymbol t$ 检验法。

pl 老师上课提出的简单记忆方法，拒绝域的符号和备择假设一致。

单个正态总体方差的假设检验

当均值 $\mathit{\mu }$$\boldsymbol \mu$ 已知，选取检验统计量：

1. 检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$$H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,H_1:\sigma^2\not=\sigma_0^2$，其拒绝域为：

   $${\hat{\chi }}^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)\text{或}{\hat{\chi }}^2>{\chi }_{\alpha /2}^2(n)$$

2. 检验假设 $H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$$H_0:\sigma^2\ge \sigma_0^2,H_1:\sigma^2 <\sigma_0^2$，其拒绝域为：

   $${\hat{\chi }}^2<{\chi }_{1-\alpha }^2(n)$$

3. 检验假设 $H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$$H_0:\sigma^2 \le \sigma_0^2 ,H_1:\sigma^2 >\sigma_0^2$，其拒绝域为：

   $${\hat{\chi }}^2>{\chi }_{\alpha }^2(n)$$

此时直接使用方差的定义，更加准确。

当均值 $\mathit{\mu }$$\boldsymbol \mu$ 未知，选取检验统计量：

1. 检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$$H_0:\sigma^2=\sigma_0^2,H_1:\sigma^2\not=\sigma_0^2$，其拒绝域为：

   $${\hat{\chi }}^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)\text{或}{\hat{\chi }}^2>{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$$

2. 检验假设 $H_0:{\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$$H_0:\sigma^2\ge \sigma_0^2,H_1:\sigma^2 <\sigma_0^2$，其拒绝域为：

   $${\hat{\chi }}^2<{\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)$$

3. 检验假设 $H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$$H_0:\sigma^2 \le \sigma_0^2 ,H_1:\sigma^2 >\sigma_0^2$，其拒绝域为：

   $${\hat{\chi }}^2>{\chi }_{\alpha }^2(n-1)$$

称为 ${\mathit{\chi }}^2$$\boldsymbol \chi^2$ 检验法

1. 先检验平均重量是否符合要求，提出假设：

   $$H_0:\mu =1000,H_1:\mu \ne 1000$$

   选取检验统计量：

   $$T=\frac{\bar{X}-1000}{S/\sqrt{10}}\sim t(9)$$

2. 提出假设：

   $$H_0:{\sigma }^2\le {\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$$

   选取检验统计量：

   $${\chi }^2=\frac{9S^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$