概统概统

第一章

第二章 概率分布的定义、性质；常用分布；随机变量函数的分布；

第三章 联合分布；边缘分布与条件分布；随机变量的独立性；随机变量的函数的分布（和的分布、线性组合的分布、商的分布、平方和的分布、极值的分布）；

第四种 期望，方差，定义性质；随机变量函数的期望，方差；相关系数，协方差；期望方差的应用。

第六章 总体、样本、统计量的概念；三大抽样分布定义、性质以及分位点定义；常用统计量（或枢轴量）的分布

第七章 矩估计和最大似然估计（最大似然不变性原理）；参数估计的评价标准（无偏性、有效性、一致性）；参数的区间估计（一个正态总体下的双侧和单侧置信区间）

第八章 $p$ 值检验方法。

Q：条件概率公式？贝叶斯公式？全概率公式？

P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)}

$B$ $A$ $A,B$ $B$ 发生的概率。

全概率公式：

P (A) = \sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})

贝叶斯公式：

P (B ∣ A) = \frac{P (A ∣ B) P (B)}{P (A)}

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})}

Info：一类概率题目

$P(B\mid A)=1-P(\overline{B}\mid \overline{A})$ 的条件？

$P(\overline{A}\ \overline{B})=1-P(A\cup B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)$ . 直接暴力展开：

\frac{P (A B)}{P (B)} + \frac{1 - P (A) - P (B) + P (A B)}{1 - P (B)} = 0

$P(AB)=P(A)P(B)$ $P(\overline{A}\ \overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})$ $A,B$ $\overline{A},\overline{B}$ 独立等价。

Q: 什么是泊松定理？

$\lambda=np$ $n \to \infin$ ）就是泊松分布，也就是：

lim_{n \to \infty} C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} = e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!}

或者从分布近似相等的角度理解：

X \sim B (n, \frac{λ}{n}) \overset{n \to + \infty}{\Rightarrow} X \sim P (λ)

$n$ 比较大时，可以用这个公式做近似。

Info：一些常见的分布的性质

$B(n,p)$ $\lfloor(n+1)p\rfloor$ .
$P(\lambda)$ $\lfloor \lambda\rfloor$ $\lambda$ $\lambda,\lambda-1$ 概率相当，都是最可能的。
如果在单位时间内出现的质点数符合 Poisson 分布，则任意两个质点出现的时间间隔服从指数分布。证明如下：
$n$ $X$ 代表质点第一次出现的时间，根据 Poisson 分布，这种情况的概率为：
$P (X > n) = e^{- n p} \frac{(n p)^{0}}{0!} = e^{- n p}$
$n$ 时间内有质点出现，概率为：
$P (X \leq n) = 1 - e^{- n p}$
$p$ .
指数分布没有记忆性，也就是：
$P (X \geq a + b ∣ X \geq a) = \frac{e^{- λ (a + b)}}{e^{- λ a}} = e^{- λ b} = P (X \geq b)$
$\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-\frac{x^2}{2}}$ .
$N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma_2^2;\rho)$ .

Q: 分布函数的性质

$0 \le F(x) \le 1$ $F(-\infin)=0,F(+\infin)=1$ .
$F(x)$ 单调不减。
$F(x)$ $\displaystyle \lim_{t \to x^+} F(t)=F(x)$ .

Q: 怎么求连续型随机变量函数的分布啊！

$X$ $X$ $f_X(x)$ $y=g(x)$ $Y=g(X)$ 的概率密度（或分布函数）的步骤如下：

$Y$ $F_Y(y)$ $\displaystyle F_Y(y)= P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\} = \int_{g(x)\le y} f_X(x)\mathrm d x$ .
$F_Y(y)$ $Y$ $\displaystyle f_Y(y)=\frac{\mathrm d }{\mathrm d y} F_Y(y)$ .

当然，需要特别注意分段函数的范围！
$Y=g(X)$ $x=h(y)$ ，对于一个严格单调的区间来说，结论是：
$f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) |$
如果有多个严格单调的区间，应该对每个区间都计算，然后叠加。

$Y=F_X(X)$ $U(0,1)$ .

Q: 定义二维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律！

联合分布函数 $F(x,y)=P(X \le x,Y\le y)$ . 矩形区域的表示：
$F (b, d) - F (a, d) - F (b, c) + F (a, c) = P (a < X \leq b, c < Y \leq d)$
$[0,1]$ 区间中；单调性；固定一个变量，关于另一个是右连续函数；矩形区域概率大于等于零。
边缘分布函数 $F_X(x)=F(x,+\infin)=P(X\le x),F_Y(y)=F(+\infin,y)=P(Y\le y)$ .
联合分布律 $P(x=x_i,y=y_i)=p_{ij}$ .
边缘分布律 $P(x=x_i)=\sum_j p_{ij},P(y=y_i)=\sum_i p_{ij}$ .

$X$ $Y$ ${(X,Y)}$ 的联合分布。

Q: 给出二维连续型随机变量的条件分布的公式。

对于离散型：

条件概率密度 $P(X=x_i \mid Y=y_i)=\displaystyle \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\cdots$ .

对于连续型：

条件概率密度 $\displaystyle f_{X\mid Y }(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ .
条件分布函数 $F_{X \mid Y} (x\mid y)=\int_{-\infin}^x f_{X\mid Y}(u\mid y) \mathrm d u=\int_{-\infin}^x \frac{f(u,y)}{f_Y(y)} \mathrm d u$ .

Q: 给出二维随机变量独立的条件。

连续型 $(X,Y)$ $x,y$ ，都有
- $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ .
- $P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x )P(Y \le y)$
$X$ $Y$ 相互独立。即 联合分布律等于边缘分布律的乘积，联合概率密度等于边缘概率密度的乘积。
离散型 $P(X=x_i,Y=y_i)=P(X=x_i)P(Y=y_i)$ $p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$ .

独立性定理 $(X,Y)$ $f(x,y)$ $(X,Y)$ $X$ $Y$ $r(x)$ $g(y)$ ，使得：

f (x, y) = r (x) g (y)

在一切连续点上成立，此时：

f_{X} (x) = \frac{r (x)}{\int_{- \infty}^{+ \infty} r (x) d x}, f_{Y} (y) = \frac{g (y)}{\int_{- \infty}^{+ \infty} g (y) d y}

$f(x,y)$ $r(x)g(y)$ $X,Y$ 相互独立。

Info：特殊随机变量函数的分布

$\boldsymbol{Z=X+Y}$

P (Z = r) = \sum_{i = 0}^{r} P (X = i) P (Y = r - i)

即离散卷积公式。

$\boldsymbol {Z=X+Y}$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (z - y, y) d y = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, z - x) d x

$\boldsymbol{Z=aX+bY+c}$

f_{Z} (z) = \frac{1}{| b |} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, \frac{z - a x - c}{b}) d x

$|b|$ $b$ 对应的积分区域一个朝下，一个朝上。

$\boldsymbol {Z=X/Y}$ （积分区域怎么画）

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (y z, y) | y | d y

$\boldsymbol {Z=X^2+Y^2}$ （积分区域是一个圆）

f_{Z} (z) = \int_{0}^{2 π} d θ \cdot \frac{1}{2} f (\sqrt{z} \cos θ, \sqrt{z} \sin θ) (z \geq 0)

$\chi^2(2)$ $1/2$ 的指数分布。

$Z=f(X,Y)$ $X=h(Y,Z)$ ，结论是：

f_{Z} (z) = | \frac{\partial h (y, z)}{\partial z} | \int f (h (y, z), y) d y

不知道对不对？感觉用来记忆上面几个例子够用了。

Q: 什么是方差不等式？并且给出证明

$Y$ ，

D (X) \leq E ((X - Y)^{2})

因为：

E (X^{2}) - E (X)^{2} \leq E (X^{2}) - 2 E (X) Y + Y^{2}

Info: 常见分布的期望和方差

分布	表达式	期望	方差
0-1分布	$P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1.$	$p$	$p(1-p)$
$B(n,p)$ $n$ 个 0-1	$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$P(X=k)=e^{-\lambda} \frac{\lambda ^k}{k!}, k=0,1,2,\cdots$	$\lambda$	$\lambda$
$G(p)$	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,\cdots$	$1/p$	$(1-p)/p^2$
$r$ 个几何	$P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}p^r q^{k-r},k=r,r+1,\cdots$	$r/p$	$r(1-p)/p^2$
$U(a,b)$	$1/(b-a)$ $x\in [a,b]$ ，其余为零	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$
$E(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x}$ $x>0$ ，其余为零	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
$N(\mu,\sigma^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infin < x <+\infin$	$\mu$	$\sigma^2$

Q: 给出不相关和独立的定义.

$\boldsymbol X$ $\boldsymbol Y$ 不相关的等价命题

$X$ $Y$ $D(X)>0$ $D(Y)>0$ ，则下列命题等价：

$X$ $Y$ 不相关；
$\rho_{XY}=0$ $\operatorname{cov}(X,Y)=0$ $E(XY)=E(X)E(Y)$ . 这三者的等价关系可以从表达式得出。
$D(X\pm Y) = D(X)+D(Y)$ .

$\boldsymbol X$ $\boldsymbol Y$ 相互独立

P (X Y) = P (X) P (Y)

由相互独立推出不相关

\begin{matrix} E (X Y) = \iint f (x, y) x y d x d y = \iint f_{X} (x) f_{Y} (y) x y d x d y \\ = \int f_{X} (x) x d x \int f_{Y} (y) y d y = E (X) E (Y) \end{matrix}

${X,Y}$ $\rho=0$ 。

Q: 什么事 Chebyshev 不等式？并且定性描述其揭示的规律，给出证明。

$X$ $E(X)=\mu$ $D(X)=\sigma^2$ $\varepsilon$ ，恒有不等式：

P (| X - μ | \geq ε) \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}

或

P (| X - μ | \leq ε) > 1 - \frac{σ^{2}}{ε^{2}}

$|X-\mu| \le \varepsilon$ $\sigma$ $\varepsilon$ 越大，落在区间内的几率就越大。

证明从方差的定义出发：

\begin{matrix} P (| X - μ | \geq ε) = \int_{| X - μ | \geq ε} f (x) d x \leq \int_{| X - μ | \geq ε} \underset{\geq 1}{\underset{⏟}{{(\frac{x - μ}{ε})}^{2}}} f (x) d x \\ \leq \int_{- \infty}^{+ \infty} {(\frac{x - μ}{ε})}^{2} f (x) d x = D (x) / ε^{2} = \frac{σ^{2}}{ε^{2}} \end{matrix}

Q: 什么是依照概率收敛？它和数列收敛有什么不同？

依照概率收敛 $Y_1,Y_2,\cdots, Y_n,\cdots$ $X$ $\forall \varepsilon>0$ ，有：

lim_{n \to + \infty} P (| Y_{n} - X | \geq ε) = 0 or lim_{n \to + \infty} P (| Y_{n} - X | < ε) = 1

$X$ $Y_{n} \underset{n \rightarrow+\infty}{\stackrel{P}{\longrightarrow}} X$ $\varepsilon$ 的概率很小，趋于零）

Q: 什么是序列服从大数定理？并且给出解释。

定义序列服从大数定理 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ $\forall \varepsilon>0$ ，有：

lim_{n \to + \infty} P (| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{k} - \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} E (X_{k}) | < ε) = 1

$X_1,X_2,\cdots,X_k$ 同分布，也等价于：

lim_{n \to + \infty} P (| \overset{―}{X} - E (X) | < ε) = 1

则称该序列服从大数定律。

$n$ $n$ 项的数学期望的算术平均值的定律。

Q: 给出几个常见的大数定律？

大数定律成立的核心是利用 Chebyshev 不等式，证明随机变量的算术平均值收敛到其均值，要求

lim_{n \to \infty} D (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = 0

Chebyshev 大数定理 $X_1,X_2\cdots,X_n$ $\rho_{X_iX_j}=0,i\not=j$ $D(X_k)=\sigma_k^2 \le \sigma^2$ $k=1,2,3,\cdots,n,\cdots$ $E(X_k)=\mu_k$ ，则称该序列服从大数定律。

Markov 大数定理 $X_1,X_2\cdots,X_n$ $\displaystyle \frac{1}{n^2} D\left(\sum_{k=1}^n X_k\right) \underset{n \rightarrow+\infty}{\stackrel{P}{\longrightarrow}} 0$ ，即 Markov 条件。满足 Markov 条件的序列服从 Markov 大数定律。

Khintchine 大数定理 $M_k\underset{n \rightarrow+\infty}{\stackrel{P}{\longrightarrow}} \mu_k,k=1,2,\cdots$ .

Q: 中心极限定理？

$\mu$ $\sigma^2$ 的随机变量，取足够多样本，样本的和近似服从：

N (n μ, n σ^{2})

样本的均值近似服从：

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

Q: 给出样本均值和样本方差数字特征

重要结论 $X$ $E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2$ ，则：

E (\overset{―}{X}) = μ, D (\overset{―}{X}) = \frac{σ^{2}}{n}, E (S^{2}) = σ^{2}

$X$ 还服从正态分布，

D (S^{2}) = \frac{2 σ^{4}}{n - 1}

$n=2$ 时服从什么分布？

$n=2$ 时，其密度函数为：

f (x) = \frac{1}{2} e^{- x / 2}, x > 0; 0, x \leq 0

$1/2$ 指数分布。

Q: 卡方分布的性质

卡方分布的性质：

期望和方差 $E(\chi^2(n))=n,D(\chi^2(n))=2n$ .
在独立前提下的可加性 $X_1\sim \chi^2(n_1),X_2\sim \chi^2 (n_2)$ $X_1,X_2$ 相互独立，则：
$X_{1} + X_{2} \sim χ^{2} (n_{1} + n_{2})$
卡方分布的极限是正态分布 $n\to\infin$ $\chi^2(n)\to$ 正态分布。

Q: t 分布的性质

$n=1$ $t(1)$ 为 Cauchy 分布，其数学期望不存在；
$n>1$ $t$ 分布的数学期望为零。
$t$ 偶函数 $n\to\infin$ 时，趋于正态分布.
$t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$

Q: F 分布的性质

$F\sim F(m,n)$ $\displaystyle \frac{1}{F}\sim F(n,m)$ .
$\displaystyle F_{1-\alpha}(n,m)=\frac{1}{F_\alpha(m,n)}$ .

Info 单个正态总体的抽样分布的各种结论

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $X$ $\overline{X},S^2$ 分别为样本均值和样本方差。

则

$\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}} = \frac{1}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overset{―}{X})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i} - \overset{―}{X}}{σ})}^{2} \sim χ^{2} (n - 1)$
注意和下面结论的区分：
$\sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i} - μ}{σ})}^{2} \sim χ^{2} (n)$
$X_i,\overline{X}$ $\overline{X}$ 会减少一个自由度。
$\overset{―}{X} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) \frac{\overset{―}{X} - μ}{σ / \sqrt{n}} \sim N (0, 1)$
$S^2$ $\overline{X}$ 相互独立。
$\frac{\overset{―}{X} - μ}{S / \sqrt{n}} \sim t (n - 1)$
$\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)$ $\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$ 可以推出。

Info 多个正态分布总体的抽样分布的各种结论

$(X_1,X_2,X_3,\cdots,X_m)$ $(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n)$ $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的样本，且两样本之间相互独立，记：

S_{1}^{2} = \frac{1}{m - 1} \sum_{i = 1}^{m} (X_{i} - \overset{―}{X})^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X})^{2}

则：

$\displaystyle F=\frac{S_1^2}{S_2^2} \cdot \frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\sim F(m-1,n-1)$ .
$S_1^2=\sigma_1^2 \chi_1^2/(n-1), S_2^2=\sigma_2^2 \chi_2^2/(m-1)$ .
$\sigma_1^2=\sigma_2^2 = \sigma^2$ ，则：
$T = \frac{\overset{―}{X} - \overset{―}{Y} - (μ_{1} - μ_{2})}{S_{w} \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}} \sim t (m + n - 2)$
$\displaystyle S_w^2 = \frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}$ .
证明，利用 t 分布的定义，注意到
$Q = \frac{\overset{―}{X} - \overset{―}{Y} - (μ_{1} - μ_{2})}{σ^{2} \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}} \sim N (0, 1)$ $R = \frac{(m - 1) S_{1}^{2} + (n - 1) S_{2}^{2}}{σ^{2}} \sim χ^{2} (m + n - 2)$

Q: 矩估计法的过程？

$k$ $k$ $k$ $1,2,\cdots,k$ 阶矩。

Q: 最大似然估计法的过程？

写出似然函数：

L (θ) = \prod_{i = 1}^{n} f (a_{i}; θ)

$\ln L(\boldsymbol \theta)$ .

求解似然方程组：

\frac{\partial \ln L (θ)}{\partial θ_{i}} = 0

$\theta_i^*$ $\hat \theta_i=\theta_i^*$ .

$L(\boldsymbol \theta)$ 单调时，如何处理？极大值/极小值在边界取到。

Q: 给出一些常见无偏估计量

$\displaystyle \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ . 是总体期望的无偏估计量。
$\displaystyle S_n^2=\frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2$ 不是总体方差的无偏估计量。
$\displaystyle S^2 = \frac{1}{n-1} \sum _{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$ 是总体方差的无偏估计量。
因为：
$\begin{aligned} E (S^{2}) & = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} E (X_{i}^{2}) - n E ({\overset{―}{X}}^{2}) \\ = \frac{1}{n - 1} {\sum_{i = 1}^{n} [D (X_{i}) + E^{2} (X_{i})] - n (D (\overset{―}{X}) + E^{2} (\overset{―}{X}))} \\ = \frac{1}{n - 1} (n μ^{2} + n σ^{2} - n \cdot σ^{2} / n - n μ^{2}) = σ^{2} \end{aligned}$
$\sum \alpha_i=1$ $\displaystyle \hat \mu = \sum_{i=1}^n \alpha_i E(X_i)$ 是总体期望的无偏估计量。
$\hat \theta$ $\theta$ $g(\hat \theta)$ $g(\theta)$ 的无偏估计量，原因是期望只具有线性性。

Q: 给出估计量有效性的定义

$\hat \theta_1=\hat \theta_1(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $\hat \theta_2=\hat \theta_2(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $\theta$ 无偏估计量 $n$ 有

D ({\hat{θ}}_{1}) < D ({\hat{θ}}_{2})

$\hat\theta_1$ $\hat \theta_2$ 有效。

估计量在无偏的情况下，才能评价有效性。

Q: 给出估计量具有一致性的定义和等价条件

一致性的定义 $\{\hat \theta_n\}$ $\theta$ $\forall \varepsilon>0$ ，有：

lim_{n \to \infty} P (| {\hat{θ}}_{n} - θ | < ε) = 1

$\hat \theta_n$ $\theta$ 的一致估计量。

等价条件 $\displaystyle \lim_{n\to \infin} D(\hat \theta_n)=0$ .

证明，使用 Chebyshev 不等式。

0 \leq P (| {\hat{θ}}_{n} - E (\hat{θ}) | \geq ε) = \frac{D ({\hat{θ}}_{n})}{ε^{2}} \to 0

Info: 指数正态分布

财富的分布并不服从正态分布，而是呈现左偏的一个形状，为什么呢，我们可以猜测影响财富的因素不是相加，而是相乘，~~比如考入交大可以让你的收入减半，考入浙大可以让你的收入翻倍~~，如：

X = \prod_{i = 1}^{n} X_{i}

两边取对数：

\log X = \sum_{i = 1}^{n} \log X_{i}

$\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $X$ $Y=\log X$ $X=e^Y$ ，

\begin{matrix} E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(y - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} \cdot e^{y} d y = e^{μ + σ^{2} / 2} \\ E (X^{2}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(y - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} \cdot e^{2 y} d x = e^{2 μ + 2 σ^{2}} \\ D (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = e^{2 μ + σ^{2}} (e^{σ^{2}} - 1) \end{matrix}

Q: 置信区间的定义？

$\theta$ $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $X$ $\alpha(0<\alpha<1)$ $\overline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ $\underline{\theta}(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ ，使得：

P (\underset{―}{θ} < θ < \overset{―}{θ}) = 1 - α

$(\underline{\theta},\overline{\theta})$ $\theta$ $1-\alpha$ $1-\alpha$ 称为置信度。

$E(|\overline{\theta}-\underline{\theta}|)$ .

一般来说，置信度越高，置信区间的长度越长——可靠度和估计的精度是矛盾的，在满足可靠度的前提下，可以增大样本容量，来增加估计的精度。

Q: 给出正态分布总体的区间估计的枢轴量.

$N(\mu,\sigma^2)$ .

$\mu$ .
- $\sigma^2$ $\displaystyle U=\frac{\overline{X}-\color{red}{\mu}}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$ .
- $\sigma^2$ $\displaystyle T=\frac{\overline{X}-\color{red}{\mu}}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$ .
$\sigma^2$ .
- $\mu$ $\displaystyle \chi^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{{\color{red}\sigma^2}}\sim \chi^2(n)$ .
- $\mu$ $\displaystyle \chi^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}{{\color{red}\sigma^2}}=\frac{(n-1)S^2}{{\color{red}\sigma^2}}\sim \chi^2(n-1)$ .

为了强调枢轴量只含有待估计参数，不含有其它未知参数，将待估计参数标红。

Q: 给出参数假设检验的步骤.

$H_0$ $H_1$ .

原假设和备选假设如何选取，原假设一般是认为系统工作正常，备择假设一旦成立，可能说明系统产生严重的问题。

$H_0$ 检验统计量 $U=g(\boldsymbol X)$ ，检验统计量服从的分布已知。
$\alpha$ 显著性水平 $W$ ，
$P (X \in W) \leq α$
$\boldsymbol X\in W$ . 当拒绝域位于两侧，称为双侧检验，类似的，在左侧或者右侧称为左侧检验或右侧检验。
$U$ $\hat U$ $\boldsymbol X$ $W$ 中。
$\boldsymbol X\in W$ $H_0$ $H_0$ .

pl 老师上课提出的简单记忆方法，拒绝域的符号和备择假设一致。

Q: 检验统计量怎么选取？

和枢轴量类似。

Q: 什么是参数假设检验的两类错误？

	$H_0$	$H_1$
$H_0$ 为真	$>1-\alpha$ ）	$\le \alpha$ ）
$H_0$ 为假	$\beta$ ）	$1-\beta$ ）

假设检验的原则 $\alpha$ ，再尽可能降低犯第二类错误的概率。