Ch6-集合论集合的概念和表示方式集合之间的关系集合的运算广义交和广义并幂集集合的图形表示集合运算的关系和证明集合基本运算的性质幂集合的性质传递集合广义并和广义交的性质笛卡尔积的性质集合的基数集合论公理体系

Ch6-集合论

集合的概念和表示方式

集合是一些确定的，可以区分的事物汇聚在一起组成的一个整体，组成一个集合的每个事物称为该集合的一个元素，或简称一个元。

$a\in A,b \notin A$ .

集合的元素可以是任何事物，也可以是另外的集合，但是集合中的元素不能是该集合自身。

集合的表示方式

外延表示法——一一列举出集合的全体元素。
$A = {7, 8, 9}, N = {0, 1, 2, 3, \dots}$
内涵表示法——用谓词表示集合中元素的性质。
$A = {x ∣ x 是整数}, B = {y ∣ P (y)}$

$\varnothing \in \{\varnothing\}$ $\varnothing \sub \{\varnothing\}$ .

递归方式定义集合：

G = {x ∣ x = 1 \lor (\exists y) (y \in G \land x = {y})}

1 \in G \Rightarrow {1} \in G \Rightarrow {{1}} \in G \Rightarrow \dots

集合之间的关系

$A=B \Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\leftrightarrow x\in B)$ .

$A\subseteq B \Leftrightarrow (\forall x)(x\in A\to x\in B)$

$A\sub B \Leftrightarrow (A\subseteq B \wedge \neg (A=B))$ .

$A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B \wedge B \subseteq A)$ .

辨析：

$\{a\} \subseteq \{\{a\},b\}$ . 错
$\{a\}\in \{\{a\},b\}$ . 对
$\{a\}\subseteq \{a,b,\{a\}\}$ . 对
$\{a\}\in \{a,b,\{a\}\}$ . 对

空集和全集

\emptyset = {x ∣ x \neq x} E = {x ∣ x = x}

集合的运算

$A,B$ ：

$A\cup B$ $A\cup B=\{x \mid x\in A\vee x\in B\}$ .
$A\cap B$ $A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}$ .
$B$ $A$ $A-B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}$ .
$A$ $-A=E-A=\{x\mid x\notin A\}$ $E$ 为全集。
$A\oplus B$ $(A-B)\cup (B-A)=\{x\mid x\in A\overline{\vee} x\in B\}$ .

广义交和广义并

\begin{matrix} \cup A = {x ∣ (\exists z) (z \in A \land x \in z)} \\ \cap A = {x ∣ (\forall z) (z \in A \to x \in z)} \end{matrix}

$\cup \varnothing = \varnothing$ $\cap \varnothing$ 无意义。

$z$ $z\in \varnothing$ $x$ $\cap \varnothing$ 的元素。

用广义交和广义并定义并集和交集：

A \cup B = \cup {A, B} A \cap B = \cap {A, B}

幂集

P (A) ≐ {x ∣ x \subseteq A}

幂集一定是一个集合

例如：

P (\emptyset) = {\emptyset} P ({\emptyset}) = {\emptyset, {\emptyset}} P P P (\emptyset) = {\emptyset, {\emptyset}, {{\emptyset}}, {\emptyset, {\emptyset}}}

幂集的性质：

P (A) \in P (B) \Rightarrow A \in B

笛卡尔积

$\langle x,y\rangle$ 应该具有以下性质：

$x \not=y \Rightarrow \langle x,y \rangle \not= \langle y,x \rangle$ .
$\langle x,y \rangle=\langle u,v \rangle \Leftrightarrow x=u\wedge y=v$ .

$\langle x,y \rangle$ $\{\{x\},\{x,y\}\}$ .

$\{x\}$ $x$ .

$\langle x,y \rangle=\langle u,v \rangle \Leftrightarrow x=u\wedge y=v$ .

左推右显然。右推左：

$x=y$ $\{x\}=\{u\}=\{u,v\}$ $x=y=u=v$ .
$x\not =y$ $\{x\}=\{u\},\{y\}=\{v\}$ .

$n$ 元有序对可以递归定义：

$n=2$ $\langle x_1,x_2 \rangle$ .
$n\not=2$ $\langle x_1,\cdots,x_n \rangle=\langle \langle x_1,\cdots,x_{n-1} \rangle,x_{n-1} \rangle$ .

$\{\{x_1\},\{x_1,x_2\},\{x_1,x_2,x_3\}\}$ ?
$\langle a,b,a \rangle,\langle a,b,b \rangle$

笛卡尔积可以定义为：

A \times B = {⟨ x, y ⟩ ∣ x \in A \land y \in B}

$A=B$ $A^2$ .

集合运算的优先权

$(-A,P(A),\cap A,\cup A)$
$-,\cap,\cup,\oplus,\times$ ）
$=,\sube,\sub,\in$ ）
$\neg$ ）
$\vee,\wedge ,\to , \leftrightarrow$ ）
$\Leftrightarrow ,\Rightarrow$ ）

集合的图形表示

集合运算的关系和证明

集合基本运算的性质

$\begin{matrix} A \cup B = B \cup A \\ A \cap B = B \cap A \end{matrix}$
$\begin{matrix} (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \\ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \end{matrix}$
$\begin{matrix} A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \\ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{matrix}$
$\begin{matrix} A \cup A = A \\ A \cap A = A \end{matrix}$
$\begin{matrix} A \cup (A \cap B) = A \\ A \cap (A \cup B) = A \end{matrix}$
$\begin{matrix} A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C) \\ A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C) \\ - (B \cup C) = - B \cap - C \\ - (B \cap C) = - B \cup - C \end{matrix}$
$\begin{matrix} A \cup \emptyset = A \\ A \cap E = A \end{matrix}$
$\begin{matrix} A \cup E = E \\ A \cap \emptyset = \emptyset \end{matrix}$
$- (- A) = A$

利用定义的证明 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ $P=Q \Leftrightarrow (x\in P \Leftrightarrow x\in Q)$ .

\begin{aligned} x \in (A \cup (B \cap C)) \\ \Leftrightarrow & x \in A \lor x \in B \cap C \\ \Leftrightarrow & x \in A \lor (x \in B \land x \in C) \\ \Leftrightarrow & (x \in A \lor x \in B) \cap (x \in A \lor x \in C) \\ \Leftrightarrow & x \in (A \cup B) \land x \in (A \cup C) \\ \Leftrightarrow & x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{aligned}

$A\cap (A\cup B)=A$ .

A \cap (A \cup B) = (A \cup \emptyset) \cap (A \cup B) = A \cup (\emptyset \cap B) = A \cup \emptyset = A

利用性质的证明：

\begin{aligned} A \cap (B - C) & = A \cap (B \cap - C) \\ = (A \cap B) \cap - C \\ = (A \cap B) - C \end{aligned}

$A,B,C$ ，有：

A \cup B = A \cup C, A \cap B = A \cap C \Rightarrow B = C

因为：

\begin{matrix} B = B \cap (A \cup B) = B \cap (A \cup C) = (B \cap A) \cup (B \cap C) \\ = (A \cap C) \cup (B \cap C) = (A \cap B) \cup C = (A \cap C) \cup C = C \end{matrix}

差集的性质

$A-B=A-(A\cap B)$ .
$A-B=A\cap -B$ $-$ 符号）
$A\cup(B-A)=A\cup B$ .
$A\cap (B-C)=(A\cap B)-C$ .

对称差的性质

$A\oplus B=B\oplus A$ .
$(A\oplus B)\oplus C=A\oplus(B\oplus C)$ .
$A\cap (B\oplus C)=(A\cap B)\oplus (A\cap C)$ .
$A\oplus \varnothing =A$ .
$A\oplus A=\varnothing$ .

$A\cap (B\oplus C)=(A\cap B)\oplus (A\cap C)$ .

$A,B,C$ $(A-B)\oplus (A-C)=\varnothing$ 的充要条件。

$A-B=A-C$ .

包含关系的性质

$A\sube B\Rightarrow (A\cup C)\sube (B\cup C)$ $A\to B\Rightarrow (A\vee C)\to (B\vee C)$ .
$A\sube B\Rightarrow (A\cap C)\sube (B\cap C)$ .
$(A\sube B)\wedge (C\sube D)\Rightarrow (A\cup C)\sube (B\cup D)$ .
$(A\sube B)\wedge (C\sube D)\Rightarrow (A\cap C)\sube (B\cap D)$ .
$(A\sube B)\wedge (C\sube D)\Rightarrow (A-D)\sube (B-C)$ .
$C\sube D\Rightarrow (A-D)\sube (A-C)$ .

幂集合的性质

先复习幂集合的定义：

P (A) ≐ {x ∣ x \subseteq A}

满足性质：

$x\in P(A)\Rightarrow x\sube A$ .
$A\in P(A)$ .

$A\sube B\Leftrightarrow P(A)\sube P(B)$ . 证明：
1. $x\in P(A)\Leftrightarrow x\sube A(前提 A\sube B)\Rightarrow x\sube B\Leftrightarrow x\in P(B)$ .
2. $x\in A\Leftrightarrow \{x\}\sube A \Leftrightarrow \{x\}\in P(A)(前提 P(A)\sube P(B))\Rightarrow \{x\}\in P(B)\Leftrightarrow x\in B$ .
$A=B\Leftrightarrow P(A)=P(B)$ . 利用上面的结论：
$\begin{aligned} A = B & \Leftrightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A \\ \Leftrightarrow P (A) \subseteq P (B) \land P (B) \subseteq P (A) \\ \Leftrightarrow P (A) = P (B) \end{aligned}$
$P(A)\in P(B)\Rightarrow A\in B$ .
$\begin{aligned} P (A) \in P (B) & \Rightarrow P (A) \subseteq B \\ \Rightarrow (P (A) \subseteq B) \land (A \in P (A)) \\ \Rightarrow A \in B \end{aligned}$
$A=\{\varnothing\},B=\{\{\varnothing\}\}$ $P(A)=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ $P(B)=\{\varnothing,\{\{\varnothing\}\}\}$ .
$P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)$ .
$x\in (P(A)\cap P(B))$ $x\in P(A)$ $x\in P(B)$ $x\sube A$ $x\sube B$ $x\sube (A\cap B)$ $x\in P(A\cap B)$ .
其中一步的证明：
$P(A)\cup P(B)\sube P(A\cup B)$ .
$x\sube A\vee x\sube B\Rightarrow x\sube A\cup B$ $x\sube A\cup B\not \Rightarrow x\sube A\vee x\sube B$ .
$P(A-B)\sube (P(A)-P(B))\cup \{\varnothing\}$ .
$x\in P(A-B)$ $\boldsymbol x$ 不是空集 $x\sube A-B$ $x\sube A\wedge x\not \sube B$ .
$x\in P(A)\wedge x\notin P(B)$ $x\in (P(A)-P(B))$ $P(A-B)\sube (P(A)-P(B))\sube (P(A)-P(B))\cup \{\varnothing\}$
$\boldsymbol{x=\varnothing}$ ，则显然成立。
$P(-B)=(-P(B))\cup \{\varnothing\}$
$P(A\cap -B)=P(A)\cap P(-B)\sube (P(A)-P(B))\cup \{\varnothing\}$ .

传递集合

$A$ $A$ $A$ 为传递集合，这个定义也可以写成：

(\forall x) (\forall y) ((x \in y \land y \in A) \to x \in A)

等价于：

(\forall y) (y 是 集 合 \land y \in A \to y \subseteq A)

$B=\{\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$ 不是传递集合。

$A$ $A$ $\Leftrightarrow A\sube P(A)$ .

$A$ $y\in A$ $y=\varnothing$ $y\in P(A)$ $y\not=\varnothing$ $(\forall x) (x\in y)$ $x\in A$ $y\sube A$ $y$ $A$ $y\in P(A)$ .

$A$ $y\in A\to y\in P(A)$ $A\sube P(A)$ .

$A\sube P(A)$ $\forall x,\forall y$ 有：

x \in y \land y \in A \overset{A \subseteq P (A)}{\Leftrightarrow} x \in y \land y \in P (A) \Leftrightarrow x \in y \land y \subseteq A \Rightarrow x \in A

$A\sube P(A)$ $A$ 是传递集合。

$A$ ，

A 是 传 递 集 合 \Leftrightarrow P (A) 是 传 递 集 合

$A$ $x,y$ 有：

x \in y \land y \in P (A) \Leftrightarrow x \in y \land y \subseteq A \Rightarrow x \in A \Rightarrow x \subseteq A \Leftrightarrow x \in P (A)

$P(A)$ $x,y$ 有：

\begin{matrix} x \in y \land y \in A \Leftrightarrow x \in y \land {y} \subseteq A \Leftrightarrow x \in y \land {y} \in P (A) \land y \in {y} \\ \Rightarrow x \in y \land y \in P (A) \Leftrightarrow x \in y \land y \subseteq A \Rightarrow x \in A \end{matrix}

广义并和广义交的性质

$A,B$ ，有：

$A\sube B\Rightarrow \cup A\sube \cup B$ .
$A\sube B\Rightarrow \cap B\sube \cap A$ $A,B$ 非空。

证明：利用广义交和广义并的定义。

$\cup(A\cup B)=(\cup A)\cup (\cup B)$ .
$\cap (A\cup B)=(\cap A)\cap (\cap B)$ .

证明第一个：

$\forall x$ ，有：

\begin{aligned} x \in \cup (A \cup B) & \Leftrightarrow (\exists y) (x \in y \land y \in A \cup B) \\ \Leftrightarrow (\exists y) (x \in y \land (y \in A \lor y \in B)) \\ \Leftrightarrow (\exists y) (x \in y \land y \in A) \lor (\exists y) (x \in y \land y \in B) \\ \Leftrightarrow x \in \cup A \lor x \in \cup B \Leftrightarrow x \in ((\cup A) \cup (\cup B)) \end{aligned}

$\cup (P(A))=A$ .

$\forall x$ ，有：

x \in \cup (P (A)) \Leftrightarrow (\exists y) (x \in y \land y \in P (A)) \Leftrightarrow (\exists y) (x \in y \land y \subseteq A) \Leftrightarrow x \in A

$P(\cup A)\not=A$ $A\sube P(\cup A)$ .

$A$ $\cup A$ 是传递集合。

$\cup A$ $A$ 是传递集合的条件。

$x$ ，有：

\begin{matrix} x \in y \land y \in \cup A \overset{因 为 广 义 并 的 定 义}{\Leftrightarrow} x \in y \land (\exists z) (y \in z \land z \in A) \\ \overset{因 为 A 是 传 递 集 合}{\Rightarrow} x \in y \land y \in A \Leftrightarrow x \in \cup A \end{matrix}

$A$ $\cup A$ 是传递集合。
$\begin{matrix} x \in y \land y \in \cup A \Leftrightarrow x \in y \land (\exists z) (y \in z \land z \in A) \\ \Rightarrow (\exists z) (x \in y \land y \in z (z 是传递集合) \land z \in A) \\ \Rightarrow (\exists z) (x \in z \land z \in A) \Rightarrow x \in \cup A \end{matrix}$
$A$ $\cap A$ $\cap A=\varnothing$ .

需要使用正则公理。这里暂时不证明

$A$ $\cap A$ 是传递集合。
$\begin{aligned} x \in y \land y \in \cap A & \Leftrightarrow x \in y \land (\forall z) (z \in A \to y \in z) \\ \Rightarrow (\forall z) (x \in y \land (z \notin A \lor y \in z)) \\ \Rightarrow (\forall z) ((x \in y \land z \notin A) \lor (x \in y \land y \in z)) \\ \overset{因为 z \in A ，是传递集合}{\Rightarrow} (\forall z) (\neg ((x \notin y) \lor z \in A) \lor (x \in z)) \\ \Rightarrow (\forall z) (((x \notin y) \lor z \in A) \to (x \in z)) \\ \overset{因为 y 任意}{\Rightarrow} (\forall z) (z \in A \to x \in z) \\ \Leftrightarrow x \in \cap A \end{aligned}$

笛卡尔积的性质

笛卡尔积可以定义为：
$A \times B = {⟨ x, y ⟩ ∣ x \in A \land y \in B}$
$\langle x,y \rangle$ $\{\{x\},\{x,y\}\}$ .

$A\times \varnothing=\varnothing \times B=\varnothing$ .
$A\not=\varnothing$ $B\not=\varnothing$ $A\not=B$ $A\times B\not =B\times A$ .
注意条件，少一个都不能满足。
$A\times (B\times C)\not =(A\times B)\times C$ .

$\langle x,\langle y,z \rangle \rangle\not=\langle \langle x,y \rangle,z \rangle$ .

$\langle x,y \rangle \in A\times B \Leftrightarrow x\in A\wedge y\in B$ .
$A$ $x\in A,y\in A$ $\langle x,y \rangle\in PP(A)$ $PP(A)\doteq P(P(A))$ ）

$x\in A\Leftrightarrow \{x\}\in P(A)$ .
$x\in A\wedge y\in A\Leftrightarrow \{x,y\}\in P(A)$ .

由以上两式可以得到：

x \in A \land y \in A \Leftrightarrow {{x}, {x, y}} \subseteq P (A) \Leftrightarrow ⟨ x, y ⟩ \subseteq P (A) \Leftrightarrow ⟨ x, y ⟩ \in P P (A)

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ .

利用结论 4. 我们有：

\begin{aligned} ⟨ x, y ⟩ \in A \times (B \cup C) \Leftrightarrow x \in A \land y \in B \cup C \\ \Leftrightarrow x \in A \land (y \in B \lor y \in C) \\ \Leftrightarrow (x \in A \land y \in B) \lor (x \in A \land y \in C) \\ \Leftrightarrow ⟨ x, y ⟩ \in (A \times B) \lor ⟨ x, y ⟩ \in (A \times C) \\ \Leftrightarrow ⟨ x, y ⟩ \in (A \times B) \cup (A \times C) \end{aligned}

$A,B,C$ $C\not=\varnothing$ ，则：
$(A \subseteq B) \Leftrightarrow (A \times C \subseteq B \times C) \Leftrightarrow (C \times A \subseteq C \times B)$
利用结论 4. 其实就是对应属于。
$A,B,C,D$ ，有：
$(A \times B \subseteq C \times D) \Leftrightarrow (A \subseteq C \land B \subseteq D)$
$A\times B \sube C\times D$ $x\in A$ $y\in B$ ，则：
$⟨ x, y ⟩ \in A \times B \Rightarrow ⟨ x, y ⟩ \in C \times D \Leftrightarrow x \in C \land y \in D \Rightarrow x \in C$
$x\in A\to x\in C$ $A\sube C$ $B\sube D$ .
$A\sube C\wedge B\sube D$ ，则：
$⟨ x, y ⟩ \in A \times B \Rightarrow x \in A \land y \in B \Rightarrow x \in C \land y \in D \Rightarrow ⟨ x, y ⟩ \in C \times D$
$A\times B\sube C\times D$ .

集合的基数

集合的基数就是集合中元素的个数。

有限集合的基数

$n\in \N$ $A$ $\{x\mid x\in \N \wedge x<n\}$ $A$ $n$ $\#(A)=n$ $|A|=n$ $\operatorname{card}(A)=n$ ，空集的基数是零。

幂集和笛卡尔积的基数

$A$ ，

| P (A) | = 2^{| A |}

证明，使用二项式定理。

自然数集的大小和自然数集的幂集一样大吗？

基本运算的基数

$|A_1\cup A_2|\le |A_1|+|A_2|$ .
$|A_1\cap A_2|\le \min (|A_1|,|A_2|)$ .
$|A_1-A_2|\ge |A_1|-|A_2|$ .
$|A_1\oplus A_2|=|A_1|+|A_2|-2|A_1\cap A_2|$ .
$|A\times B|=|A|\times |B|$ .
$|A_1\cup A_2|=|A_1|+|A_2|-|A_1\cap A_2|$ .
$|A_1|$ $|A_1\cap -A_2|$ $|A_1\cap A_2|$ ……

容斥原理

$n\in \N$ $n>1$ $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是有限集合，则：

\begin{aligned} | A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} | = & \sum_{i} | A_{i} | - \sum_{i < j} | A_{i} \cap A_{j} | + \sum_{i < j < k} | A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k} | \\ + \dots + (- 1)^{n - 1} | A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} | \end{aligned}

集合论公理体系

集合论公理体系是一阶谓词公理系统的扩展，包括一阶谓词公理和几个集合论公理。目的是构造出所有合法的集合，集合论的所有元素都是集合，只研究集合。空集是最基本的集合。

外延公理
$(\forall x) (\forall y) (x = y \leftrightarrow (\forall z) (z \in x \leftrightarrow z \in y))$
空集存在公理
$(\exists x) (\forall y) (y \notin x) \Rightarrow x 是空集$
无序对集合存在公理
$(\forall x) (\forall y) (\exists z) (\forall u) (u \in z \leftrightarrow ((u = x) \lor (u = y)))$
构造出以两个集合为元素的集合。
并集合公理
$x$ $y$ $x$ 中元素的元素。
$(\forall x) (\exists y) (\forall z) (z \in y \leftrightarrow (\exists u) (z \in u \land u \in x))$
也就是广义并。解决了广义并的存在性。
子集公理模式
$P(z)$ $x$ $y$ $z$ $x$ $P(z)$ 为真。
$(\forall x) (\exists y) (z \in y \to (P (z) \land z \in x))$
可以解决交集、差集、广义交和笛卡尔积的存在性：
- $P(z):z\in B$ $A$ $A\cap B$ $z$ $z\in A$ $P(z):z\in B$ .
- $P(z):z\notin B$ ，则可以证明差集的存在性。
- $P(z):(\forall u)(u\in A\to z\in u)$ ，则可以证明广义交的存在性。
  $A_{0} = {x ∣ x \in A_{1} \land (\forall u) (u \in A \to z \in u)}$
- $U$ $U$ $\langle x,y \rangle$ $PP(A\cup B)$ .
  $P(z):z=\langle x,y \rangle \wedge x\in A\wedge y\in B$ .
  选取：
  ${z ∣ z \in P P (A \cup B) \land z = ⟨ x, y ⟩ \land x \in A \land y \in B}$
幂集合公理
$x$ $y$ $x$ 的子集。
$(\forall x) (\exists y) (\forall z) (z \in y \leftrightarrow (\forall u) (u \in z \to u \in x))$
说明了子集的存在性。
正则公理
$x$ $x$ $x$ 不相交。
$(\forall x) (x \neq \emptyset \to (\exists y) (y \in x \land (x \cap y = \emptyset)))$
解决了奇异集合。
无穷公理
存在一个由所有自然数构成的集合：
$\begin{matrix} 0 = \emptyset \in x \\ 1 = {\emptyset \cup {\emptyset}} \in x \\ 2 = {1 \cup {1}} \\ \dots \end{matrix}$
替换公理模式
$P(x,y)$ $x$ $y$ $P(x,y)$ $t$ $s$ $s$ $y$ $t$ $x$ $y$ .
$(\forall x) (\exists! y) P (x, y) \to (\forall t) (\exists s) (\forall u) (u \in s \to (\exists z) (z \in t \land P (z, u)))$
$\Rightarrow$ 子集公理模式。
选择公理
$(\forall 关系 R) (\exists 函数 F) (F \subseteq R \land dom F = dom R)$

$A$ $A$ 的元素。

$p(x):x\not\in x$ ，则构造：

A_{0} = {x ∣ x \in A \land x \notin x}

$x=A_0$ $A_0\in A_0 \Rightarrow A_0\in A\wedge A_0\notin A_0$ $A_0\in A$ $A_0\in A_0 \Rightarrow A_0 \notin A_0$ ，矛盾。

$\cap \varnothing$ 不存在。

正则公理和奇异集合 $A,B$ $A\in B$ $A\cap B=\varnothing$ $A$ $B$ 的一个极小元。正则公理是说一个集合必然存在极小元。

$A$ $A\notin A$ $A\in A$ $\{A\}$ $A\in \{A\}$ $\{A\}$ $A$ $A\cap \{A\}=\varnothing$ $A\in A\Rightarrow A\sube \{A\}\Rightarrow A\cap \{A\}=A$ ，矛盾。

$A_1,A_2$ 有：

\neg (A_{1} \in A_{2} \land A_{2} \in A_{1})

$B=\{A_1,A_2\}$ $B$ 存在极小元，

$A_1$ $A_1 \cap \{A_1,A_2\}=\varnothing$ $A_1\in A_2 \Rightarrow A_1 \sube \{A_1,A_2\}$ ，矛盾；
$A_2$ ，同理矛盾。

$A$ $\varnothing \in A$ .

$A$ $A_i\in A$ $i=0,1,\cdots$ ，而且：

\dots \in A_{n + 1} \in A_{n} \in \dots \in A_{2} \in A_{1} \in A_{0}

$B=\{A_0,A_1,\cdots,A_{n+1}\}$ $B$ $A_i$ ，有：

A_{i} \in B \land A_{i} \cap B = \emptyset

$A_{i+1}\in A_i$ ，这会使得：

A_{i + 1} \in B \Rightarrow A_{i} \cap B \neq \emptyset

因此矛盾。

无穷公理和自然数集合

$A$ $A^+=A\cup \{A\}$ $A^+$ $A$ 的后继。

定义自然数：

0 = \emptyset, 1 = 0^{+} = 0 \cup {0} = 0, 2 = 1^{+} = 1 \cup {1} = {0, 1}, \dots

$n+1$ ，定义：

n + 1 = n^{+} = {0, 1, \dots, n}

$n,m$ ，有：

\begin{matrix} m < n \Leftrightarrow m \subset n \Leftrightarrow n > m \\ m \leq n \Leftrightarrow m \subseteq n \Leftrightarrow n \geq m \end{matrix}

$A$ $A_1,A_2$ $A_1\in A_2,A_1=A_2,A_2\in A_1$ 中恰好成立一个。

$m<n,m=n,m>n$ 中恰好成立一个。