一、二重积分（性质、计算、变量替换）

1. 性质

1. 线性性

2. 有限区域可加性

3. 若 $f\equiv 1$$f \equiv 1$ 则 ${\iint }_{\mathrm{\Omega }}d\sigma =S$$\iint_\Omega d\sigma=S$ ,其中 $S$$S$ 为区域面积

4. 保序性、估值不等式

5. 绝对可积性、绝对值不等式

6. 乘积可积性（注意乘积的积分不一定是积分的乘积）

7. 积分中值定理

2. 计算步骤

1. 画图

2. 确定D的类型

3. 穿针法定限

4. 计算

3. 计算技巧

1. 积分换序

   注：适用于首次积分不好积或者积不出来的情形。

2. 对称性（包括轮换对称）

   例1：计算积分 ${\iint }_D(y{\sin }^{5}x-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$\iint_{D}\left(y \sin ^{5} x-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中

   (1) 区域 $D$$D$ 由曲线 $y=2x,x=\pm 1,y=2$$y=2 x, x= \pm 1, y=2$ 围成。 (2) 区域 $D$$D$ 由曲线 $y=\sin x,x=\pm \frac{\pi }{2},y=1$$y=\sin x, x= \pm \frac{\pi}{2}, y=1$ 围成。

   分析：(2) 借助 $y=-\sin x$$y=-\sin x$ 和 y 轴可将 $D$$D$ 分为 4 个区域。 利用对称性，可知 $y{\sin }^{5}x$$y \sin ^{5} x$ 在 $D$$D$ 上的积分为 0。

   $${\iint }_D(y{\sin }^{5}x-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^1\mathrm{d}y=-\pi$$

   注：当积分域有一定对称性，同时被积函数也有相应奇偶性时积分可以简化，而轮换对称性只需要积分域具有轮换对称性即可。

3. 变量替换

   注意：

   1. 雅各比行列式别漏了

   2. 雅各比行列式有可能需要倒数处理

   3. 雅各比行列式需要加绝对值

   4. 新的积分区域由原来的边界曲线方程决定

4. 补缺求全

5. 积分区域划分

   例1：假设 $D$$D$ 是由 $x=2,y=0,x=y$$x=2, y=0, x=y$ 围成的有界闭域。证明定义在 $D$$D$ 上的函数 $f(x,y)=[x+y]$$f(x, y)=[x+y]$ 可积，并计算 ${\iint }_D[x+y]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$\iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$．

   分析：将 $D$$D$ 分为四个区域：$D_k,k=1,2,3,4$$D_{k}, k=1,2,3,4$：

   $$\begin{array}{c}{D}_k:f(x,y)=\{\begin{array}{ll}k-1,& k-1⩽x+y<k\\ k,& x+y=k\end{array}\end{array}$$

   $f(x,y)$$f(x, y)$ 在 $D$$D$ 上有界，不连续点仅在有限条直线上，故 $f(x,y)$$f(x, y)$ 在 $D$$D$ 上可积，且

   $${\iint }_D[x+y]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0+1\cdot {\iint }_{D_2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+2\cdot {\iint }_{D_3}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+3\cdot {\iint }_{D_4}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\cdots =3$$

   注：被积函数不连续与积分区域不规整是积分区域划分的重要标志。

6. 线性性

二、二重积分（极坐标替换）

1. 定限原则

• 先 $r$$r$ 后 $\theta$$\theta$：同心圆弧

• 先 $\theta$$\theta$ 后 $r$$r$：射线、三种积分区域

关键在于：化积分区域边界为极坐标方程。

注意：遇到画不出来的图的一定要分析 $r$$r$ 与 $\theta$$\theta$ 的范围，这在三重积分中同样重要。

2. 应用场景

1. 被积函数含广义的 $x^2+y^2$$x^2+y^2$ 项

2. 积分域与圆有关

3. 广义极坐标替换（注意此时极角与标准极坐标替换中的极角的区别）

3. 重要例题

例： (1) 计算 $I_1={\iint }_D{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$I_{1} = \iint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$，其中 $D:x^2+y^2⩽R^2,x⩾0,y⩾0$$D: x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ (2) 试导出无穷积分 $I_2={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$$I_{2}=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 的值。

解： (1)

$$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^R{e}^{-r^2}r\mathrm{d}r=\frac{\pi }{4}(1-e^{-R^2})$$

(2)

$$I_2^2=\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\left({\int }_0^R{e}^{-x^2}\mathrm{d}x\right)\cdot \left({\int }_0^R{e}^{-y^2}\mathrm{d}y\right)]=\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\iint }_{[0,R]\times [0,R]}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

而 $I_2>0$$I_{2}>0$，利用夹逼准则及(1)的结论 $⟹I_2^2=\frac{\pi }{4}⟹I_2=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$$\Longrightarrow I_{2}^{2}=\frac{\pi}{4} \Longrightarrow I_{2}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$．

本题（1）比较常规，但给（2）带来了启发。 而（2）利用 $e^{-x^2}$$e^{-x^{2}}$ 对 $e^{-y^2}$$e^{-y^{2}}$ 为常数的特点，凑出 $x^2+y^2$$x^2+y^2$。 更精彩的是，夹逼准则采用的是两个扇形夹一个正方形。

三、三重积分（对称性、变量替换）

1. 奇偶性

2. 轮换对称性

若积分域 $V$$V$ 具有轮换对称性，则有：

这种技巧可用于凑出 $x^2+y^2+z^2$$x^2+y^2+z^2$，从而大大简化极坐标替换的运算量。

3. 变量替换

• 柱坐标变换

  • 更好的方法是截面/投影法 + 极坐标变换

  • 什么时候用：被积函数 $f$$f$ 含 $x^2+y^2$$x^2+y^2$ 项；积分域 $V$$V$ 与柱面或旋转抛物面有关。

• 球坐标变换

  • 什么时候用：被积函数含 $x^2+y^2+z^2$$x^2+y^2+z^2$ 项；积分域与球面或锥面有关。

  • 注：与二重积分类似，广义球坐标中的 $\phi$$\varphi$ 与 $\theta$$\theta$ 均不是标准球坐标替换下的与对应坐标轴正向的夹角。为此，当使用广义球坐标替换时，需要从边界曲面方程中定限。

  例：求 $I={\iiint }_V(x+2y+3z{)}^2\mathrm{d}V$$I=\iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$，其中 $V:x^2+y^2+z^2⩽1$$V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$. 分析：线性性，轮换对称性，奇偶性。

  法一：$I=\frac{14}{3}{\iiint }_V(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V$$I=\frac{14}{3} \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} V$。球坐标变换后计算。

  法二：$I=14{\iiint }_V{x}^2\mathrm{d}V$$I=14 \iiint_{V} x^{2} \mathrm{~d} V$。截面法计算。

  变式：$V$$V$ 是由 $x^2+y^2+z^2=2Rz(R>0),y=\sqrt{x^2+z^2}$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R z(R>0), y=\sqrt{x^{2}+z^{2}}$围成，求 $I={\iiint }_V(x+2y+3z{)}^2\mathrm{d}V$$I=\iiint_{V}(x+2 y+3 z)^{2} \mathrm{~d} V$。

  令 $x=r\sin \phi \cos \theta ,y=r\cos \phi ,z=r\sin \phi \sin \theta$$x=r\sin\varphi \cos\theta, y=r\cos\varphi, z=r\sin\varphi \sin\theta$ 此时 $0\le \theta \le \pi ,0\le \phi \le \pi ,0\le r\le 2R\sin \phi \sin \theta$$0\leq\theta\leq\pi, 0\leq\varphi\leq\pi, 0\leq r\leq2R\sin\varphi \sin \theta$

四、三重积分（截面法、投影法）

1. 一般的思路

• 能画图则画图，优先画平直面，曲面可意会。

• 首次积分上下限：边界曲面方程。

• 积分域：交线投影（肉眼看得出来当然最好，看不出来就消参，原则是向谁投影就消谁）、交点坐标。

2. 技巧

二重积分的技巧都能用：积分换序、对称性（包括轮换对称）、变量替换、补缺求全，积分区域划分，线性性。

注意：

• 极坐标变换适用于圆域的重要原因在于极坐标变换不只有一种形式。

• 轮换对称性具有一定灵活性。 如 ${\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})dxdydz$$\iiint _\Omega (\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})dxdydz$，其中 $\mathrm{\Omega }$$\Omega$ 为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\le 1$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\le 1$ 的第一卦限内的部分。

3. 投影法——先1后2

投影区域易确定，穿入曲面和穿出曲面方程易知。

4. 截面法——先2后1

适用于截面域好确定，先2后1好计算。如被积函数只与一个变量有关，截面面积好求。

注：使用截面法之前需要证明曲面的交线是在同一个与z轴垂直的平面上。

五、 曲面面积

1. 公式

• 设曲面方程为 $z=f(x,y),(x,y)\in D_{xy}$$z=f(x, y), (x, y) \in D_{x y}$，且 $f(x,y)$$f(x, y)$ 在有界闭域 $D_{xy}$$D_{x y}$ 上有连续的偏导数，则曲面的面积为：

  $$S={\iint }_{D_{xy}}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

• 同样地，我们也有参数形式： 曲面 $x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)\in D$$x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v), (u, v) \in D$，面积为：

  $$S={\iint }_D|{\overrightarrow{r}}_u\times {\overrightarrow{r}}_v|\mathrm{d}u\mathrm{d}v={\iint }_D\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

  其中 $E={\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_u,F={\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_v,G={\overrightarrow{r}}_v\cdot {\overrightarrow{r}}_v$$E=\vec{r}_{u} \cdot \vec{r}_{u}, F=\vec{r}_{u} \cdot \vec{r}_{v}, G=\vec{r}_{v} \cdot \vec{r}_{v}$，且 ${\overrightarrow{r}}_u=(x_u,y_u,z_u),{\overrightarrow{r}}_v=(x_v,y_v,z_v)$$\vec{r}_{u}=(x_{u},y_{u},z_{u}), \vec{r}_{v}=(x_{v},y_{v},z_{v})$。

• 注（拉格朗日恒等式）：

  $$\begin{array}{c}(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d})=\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}& \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}\\ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}& \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}\end{array}\right|\end{array}$$

2. 注意点

• 阅读理解（要算的面积是谁的面积）

• 投影要有一一性（开根号要千万小心）

• 与重积分一样，不要光注意z=0平面上方

3. 计算质量，体积，面积

• 体积：二重积分算曲顶柱体；三重积分算空间体。

• 面积：二重积分算曲面面积；定积分算旋转体侧面积。

• 质量：三重积分算空间体质量；二重积分算平面薄片质量。