一、多元函数极限与连续

1. 多元函数的极限与连续性的证明与计算

1. 极限/连续的定义：条件放大（在一个空心邻域内），适当放大（使得函数仍为一个无穷小量，形式简单），保留 $|x|,|y|,x^2+y^2$$|x|, |y|, x^2+y^2$ 在分子上。

2. Taylor公式 也可以用。

3. 极限运算性质。

4. 换元变化为一元函数极限。

5. 初等函数连续。

2. 判断极限不存在

1. 取不同路径。

2. 两个二次极限（累次极限）都存在但不相等。

注意：两个二次极限均存在且相等不能推出二元极限存在。

二、偏导与可微

1. 可微的定义

设 $z=f(x,y),(x,y)\in D$$z=f(x, y), (x, y) \in D$ 。若 $f$$f$ 在 $D$$D$ 的内点 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 处的全增量 $\mathrm{\Delta }z$$\Delta z$ 可表示为：

其中 $A,B\in \mathbb{R}$$A, B \in \mathbb{R}$ ，则称 $z=f(x,y)$$z=f(x, y)$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 处可微，线性部分 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$$A \Delta x+B \Delta y$ 为 $f$$f$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 处的全微分，记为：

注 (1)：$A,B$$A, B$ 仅与 $(x_0,y_o)$$(x_{0},y_{o})$ 有关。 注 (2)：可微的定义用极限描述： 存在 $A,B\in \mathbb{R}$$A, B \in \mathbb{R}$，使得：

$$\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}\frac{|\mathrm{\Delta }z-A\mathrm{\Delta }x-B\mathrm{\Delta }y|}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}=0$$

2. 连续、可导、可微之间的关系

定理1 (可微的必要条件)：若 $f(x,y)$$f(x, y)$ 在点 $(x_0,y_0)\in D$$(x_{0}, y_{0}) \in D$ 处可微，则 $f$$f$ 在该点处关于 $x,y$$x, y$ 均可偏导，且在全微分定义中 $A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$$A=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), B=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$。

注 (1)：$f$$f$ 的全微分可以记为 $\mathrm{d}f=f_x\mathrm{d}x+f_y\mathrm{d}y$$\mathrm{d} f=f_{x} \mathrm{~d} x+f_{y} \mathrm{~d} y$。 注 (2)：二元函数可微的判断：验证下式是否为0

$$\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}\frac{|\mathrm{\Delta }z-f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x-f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y|}{\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}}$$

注 (3)：一看连续，二看偏导，三看偏导数连续，四看定义。

定理2 (可微性的充分条件)：若 $f(x,y)$$f(x, y)$ 的偏导数 $f_x,f_y$$f_{x}, f_{y}$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 处二元连续，则 $f(x,y)$$f(x, y)$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 处可微。

注：条件充分而非必要。

3. 多元函数在一点的导数

1. 按定义。

2. $f_x(x_0,y_0)=\frac{df(x,y_0)}{dx}$$f_{x}(x_{0},y_{0})=\frac{d f(x,y_{0})}{dx}$。

3. $f_x$$f_{x}$ 连续，则 $f_x(x_0,y_0)={f_x(x,y)|}_{(x_0,y_0)}$$f_{x}(x_{0},y_{0})=\left.f_{x}(x,y)\right|_{(x_{0},y_{0})}$。

4. 要用定义计算偏导数的函数

1. 抽象函数

2. 分段函数

5. 多元复合函数

• 链式法则

6. 隐函数

1. 确定隐函数类型。

2. 偏导法（例如 $z$$z$ 是 $x,y$$x, y$ 的函数），全微分法（变量等价）。

7. 高阶偏导数计算

• 不要漏系数和幂次。

8. 方程变换

1. 函数关系理顺。

2. 复合函数的偏导数和高阶偏导数的计算。

9. 方向导数

1. 定义

   $z=f(x,y)$$z=f(x, y)$ 在点 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 沿方向 $\overrightarrow{l}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$\vec{l}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的方向导数定义为：

   $$\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\sin \alpha )-f(x_0,y_0)}{t}$$

   记为 ${\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}|}_{(x_0,y_0)}$$\left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ 或 ${\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{l}}|}_{(x_0,y_0)}$$\left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$。

2. 方向导数的定理

   设 $z=f(x,y)$$z=f(x, y)$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 处可微，则 $f$$f$ 在该点处沿任意方向 $\overrightarrow{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$$\vec{l}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ 的方向导数存在，且有：

   $$\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$

   类似地，三元函数 $u=f(x,y,z)$$u=f(x, y, z)$ 可微，则在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$$P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 沿 $\overrightarrow{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$$\vec{l}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 的方向导数为：

   $${\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{l}}|}_{P_0}=f_x\left(P_0\right)\cos \alpha +f_y\left(P_0\right)\cos \beta +f_z\left(P_0\right)\cos \gamma$$

   注：单个点的方向导数最好用定义做，少用定理。

10. 梯度

1. 定义

   设 $u=f(x,y)$$u=f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$$P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 处可微，称向量 $(f_x(P_0),f_y(P_0))$$(f_{x}(P_{0}), f_{y}(P_{0}))$ 为 $f$$f$ 在 $P_0$$P_{0}$ 处的梯度，记为 ${\mathrm{grad}f|}_{P_0}$$\left.\operatorname{grad} f\right|_{P_{0}}$ 或 $\mathrm{grad}f\left(P_0\right)$$\operatorname{grad} f\left(P_{0}\right)$。

   梯度 $\mathrm{grad}f$$\operatorname{grad} f$ 的模（长度）为 $\parallel \mathrm{grad}f\parallel =\sqrt{f_x^2\left(P_0\right)+f_y^2\left(P_0\right)}$$\|\operatorname{grad} f\|=\sqrt{f_{x}^{2}\left(P_{0}\right)+f_{y}^{2}\left(P_{0}\right)}$。

   引入算子记号（称为哈密顿算子或者向量微分算子）$\mathrm{\nabla }\triangleq (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})$$\nabla \triangleq(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})$，则梯度可记为 ${\mathrm{\nabla }f|}_{P_0}$$\left.\nabla f\right|_{P_{0}}$ 或 $\mathrm{\nabla }f(P_0)$$\nabla f(P_{0})$。

   三元类似。

2. 意义

   • 简化方向导数的计算 (函数在该点处可微)

     $$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{l}}=\mathrm{\nabla }f\cdot {\overrightarrow{l}}^0$$

   • 找到函数值增长/下降最快的方向

     • 沿着 $\mathrm{grad}f$$\operatorname{grad} f$ 方向时，$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{l}}$$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$ 达到最大值 $\parallel \mathrm{grad}f\parallel$$\|\operatorname{grad} f\|$，函数值增长最快。

     • 沿着 $\mathrm{grad}f$$\operatorname{grad} f$ 相反的方向时，$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{l}}$$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$ 达到最小值 $-\parallel \mathrm{grad}f\parallel$$-\|\operatorname{grad} f\|$，函数值下降最快。

   注意：最大值是向量模长，要开根号。

三、极值与最值

1. 计算极值的步骤

1. 由 $f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0$$f_{x}(x, y)=0, f_{y}(x, y)=0$ 解出驻点。

2. 在驻点处计算 $A=f_{xx},B=f_{xy},C=f_{yy}$$A=f_{xx}, B=f_{xy}, C=f_{yy}$，并判断 $AC-B^2$$AC-B^2$ 的符号，利用定理确定极值点和极值。

注：如果 $AC-B^2=0$$AC-B^2=0$，尝试特殊路径、因式分解、Taylor高阶展开等方法。

2. 条件极值

1. 处理方法

   • 将问题转化为无条件极值问题（未必都可以）。

   • Lagrange乘数法

     利用Lagrange乘数法求函数 $z=f(x,y)$$z=f(x, y)$ 在条件 $\phi (x,y)=0$$\varphi(x, y)=0$ 下的极值步骤如下：

     1. 明确目标函数和约束条件，构造Lagrange函数 $L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$$L(x, y, \lambda) = f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$。

     2. 从方程组 $L_x=0,L_y=0,L_{\lambda }=0$$L_{x}=0, L_{y}=0, L_{\lambda}=0$ (即 $\phi =0$$\varphi=0$) 中解出可疑极值点 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$。

     3. 考察 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 是否为极值点。

     条件是：$\phi (x,y)=0$$\varphi(x, y)=0$ 的隐函数存在。 当问题存在条件极值，而方程组解唯一时，该点必为极值点，否则应另行讨论。

     注意：

     • 在构造Lagrange函数时，需要灵活地构造。

     • 有几个条件就可以设几个拉格朗日乘子。

     例：在椭球 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a,b,c>0)$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad (a, b, c>0)$ 内嵌入有最大体积的长方体（各面平行于坐标面）。

     分析：等价于求函数 $V=8xyz$$V = 8xyz$ 的最大值，或函数 $f=\ln x+\ln y+\ln z$$f=\ln x+\ln y+\ln z$ 在条件 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的极值问题。

3. 条件极值的充分条件

考虑目标函数 $f(x,y,z)$$f(x, y, z)$，约束条件 $\phi (x,y,z)=0,\psi (x,y,z)=0$$\varphi(x, y, z)=0, \psi(x, y, z)=0$ 的极值问题。

• 条件：在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$$P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 某邻域内，$f,\phi ,\psi \in C^2,L_x(P_0)=L_y(P_0)=L_z(P_0)=0$$f, \varphi, \psi \in C^{2}, L_{x}(P_{0})=L_{y}(P_{0})=L_{z}(P_{0})=0$。

• L-函数：$L(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=f+{\lambda }_1\phi +{\lambda }_2\psi$$L(x, y, z, \lambda_{1}, \lambda_{2})=f+\lambda_{1} \varphi+\lambda_{2} \psi$。

• 由 $\mathrm{\Delta }f=f(P)-f(P_0)=L(P)-L(P_0)=\mathrm{\Delta }L$$\Delta f=f(P)-f(P_{0})=L(P)-L(P_{0})=\Delta L$。

• 定义Hesse矩阵：

  $$\begin{array}{c}H\doteq \left(\begin{array}{ccc}{L}_{xx}& L_{xy}& L_{xz}\\ L_{yx}& L_{yy}& L_{yz}\\ L_{zx}& L_{zy}& L_{zz}\end{array}\right)\end{array}$$

• 判别法：

  • $H(P_0)$$H(P_{0})$ 正定时，$\mathrm{\Delta }f>0,P_0$$\Delta f>0, P_{0}$ 为极小值。

  • $H(P_0)$$H(P_{0})$ 负定时，$\mathrm{\Delta }f<0,P_0$$\Delta f<0, P_{0}$ 为极大值。

• 步骤：

  1. 按Lagrange乘数法求出可能的极值点 $P_0$$P_{0}$。

  2. 关于Lagrange函数构造 $P_0$$P_{0}$ 处的Hesse矩阵。

  3. 判断Hesse矩阵的正定性：

     • $H$$H$ 为正定阵时，$f$$f$ 在 $P_0$$P_{0}$ 处取极小值。

     • $H$$H$ 为负定阵时，$f$$f$ 在 $P_0$$P_{0}$ 处取极大值。

     • $H$$H$ 不定时，$P_0$$P_{0}$ 不是极值点。

引进Lagrange函数，函数 $f$$f$ 的条件极值问题转化为了 Lagrange函数 $L$$L$ 的无条件极值问题。

4. 计算最值的步骤

1. 确定驻点、不可导点和边界点（边界点包括边界上一元函数的极值点和端点）。

2. 比较这些点函数值的大小。

总结：

1. $D$$D$ 内部 $\to$$\to$ 极值点。

2. $\partial D$$\partial D$ (边界)上 $\to$$\to$ 退化后的一元函数最值点。

3. 比较所有候选点的函数值。

注：

• 解题第一步就是要写“有界闭域上的连续函数最值必定存在”。

• 二元函数在区域中如果有唯一的极值点，该点不一定是最值点。

四、多元函数泰勒公式

1. 多元函数泰勒公式

设 $f(x,y)$$f(x, y)$ 在 $(x_0,y_0)$$(x_{0}, y_{0})$ 某邻域内有 $n+1$$n+1$ 阶连续偏导数，则在该邻域内任一点 $(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)$$(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y)$ 处恒成立：

其中 $0<\theta <1$$0<\theta<1$。

2. 多元函数的微分中值定理

若 $f(x,y)$$f(x, y)$ 在凸区域 $D$$D$ 上可微，则对D内任意两点 $(x_0,y_0)$$(x_0, y_0)$ 和 $(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)$$(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$，存在 $0<\theta <1$$0<\theta<1$ ：

$$\begin{array}{rl}& f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)\\ =& f_x(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x,y_0+\theta \mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x,y_0+\theta \mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y\end{array}$$

注：此处的 $D$$D$ 是个凸域，即 $D$$D$ 上任意两点之间的连线均在 $D$$D$ 内。

3. Taylor用于放缩

五、偏导数在几何中的应用

1. 空间曲线的切线与法平面

1. 参数方程的情况

   曲线 $\begin{array}{c}l:\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array},x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)\ne 0\end{array}$$l: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}, \quad x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t) \neq 0$

   • 切向量：$(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$$(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t))$

   • 曲线 $l$$l$ 过 $P_0(x_0,y_0,z_0)$$P_{0}(x_0, y_0, z_0)$ （对应参数 $t_0$$t_0$）的切线方程为：

     $$\frac{x-x_0}{x^{\prime }\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }\left(t_0\right)}$$

   • 法平面方程为：

     $$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$$

2. 一般式方程（曲面交线）的情况

   空间光滑曲线 $\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$\begin{cases} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{cases}$

   • 在 $P_0$$P_{0}$ 处的法平面方程为：

     $$\left|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ F_x(P_0)& F_y(P_0)& F_z(P_0)\\ G_x(P_0)& G_y(P_0)& G_z(P_0)\end{array}\right|=0$$

   • 在 $P_0$$P_{0}$ 处的切线方程为：

     $$\frac{x-x_0}{{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}|}_{P_0}}=\frac{y-y_0}{{\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}|}_{P_0}}=\frac{z-z_0}{{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}|}_{P_0}}$$

2. 空间曲面的切平面与法线

1. 隐式方程的情况

   光滑曲面 $F(x,y,z)=0$$F(x,y,z)=0$

   • 过 $P_0(x_0,y_0,z_0)$$P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 点的切平面方程为：

     $$F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0$$

   • 过 $P_0(x_0,y_0,z_0)$$P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 点的法线方程为：

     $$\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}$$

     注：特别地，曲面 $z=f(x,y)$$z=f(x, y)$ 在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$$P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的：

   • 切平面方程为：$f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0$$f_{x}(x_{0}, y_{0})(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0}, y_{0})(y-y_{0}) - (z-z_{0}) = 0$

   • 法线方程为：$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$$\frac{x-x_{0}}{f_{x}(x_{0}, y_{0})} = \frac{y-y_{0}}{f_{y}(x_{0}, y_{0})} = \frac{z-z_{0}}{-1}$

2. 参数方程的情况

   曲面 $\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}$$\begin{cases} x=x(u, v) \\ y=y(u, v) \\ z=z(u, v) \end{cases}$

   • $P_0$$P_{0}$ 点处的切平面方程：

     $$\left|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ x_u(P_0)& y_u(P_0)& z_u(P_0)\\ x_v(P_0)& y_v(P_0)& z_v(P_0)\end{array}\right|=0$$

   • $P_0$$P_{0}$ 点处的法线方程：

     $$\frac{x-x_0}{{\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}|}_{P_0}}=\frac{y-y_0}{{\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}|}_{P_0}}=\frac{z-z_0}{{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|}_{P_0}}$$

注意：面对曲面/曲线的切（法）平面/法（切）线垂直或者平行于另一个平面或直线的情况，注意向量到底是互相平行的还是互相垂直的。