## 一、多元函数极限与连续

### 1. 多元函数的极限与连续性的证明与计算
1.  **极限/连续的定义**：条件放大（在一个空心邻域内），适当放大（使得函数仍为一个无穷小量，形式简单），保留 $|x|, |y|, x^2+y^2$ 在分子上。
2.  **Taylor公式** 也可以用。
3.  **极限运算性质**。
4.  **换元**变化为一元函数极限。
5.  **初等函数连续**。

### 2. 判断极限不存在
1.  取**不同路径**。
2.  两个**二次极限**（累次极限）都存在但不相等。
> **注意**：两个二次极限均存在且相等**不能**推出二元极限存在。

## 二、偏导与可微

### 1. 可微的定义
设 $z=f(x, y), (x, y) \in D$ 。若 $f$ 在 $D$ 的内点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的全增量 $\Delta z$ 可表示为：
$$
\begin{aligned}
\Delta z & =f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) \\
& =A \Delta x+B \Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\right)
\end{aligned}
$$
其中 $A, B \in \mathbb{R}$ ，则称 $z=f(x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微，线性部分 $A \Delta x+B \Delta y$ 为 $f$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处的全微分，记为：
$$
\left.\mathrm{d} z\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.\mathrm{d} f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \Delta x+B \Delta y
$$
> **注 (1)**：$A, B$ 仅与 $(x_{0},y_{o})$ 有关。
> **注 (2)**：可微的定义用极限描述：
> 存在 $A, B \in \mathbb{R}$，使得：
> $$
> \lim _{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} \frac{|\Delta z-A \Delta x-B \Delta y|}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=0
> $$

### 2. 连续、可导、可微之间的关系
**定理1 (可微的必要条件)**：若 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0}) \in D$ 处可微，则 $f$ 在该点处关于 $x, y$ 均可偏导，且在全微分定义中 $A=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), B=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$。

> **注 (1)**：$f$ 的全微分可以记为 $\mathrm{d} f=f_{x} \mathrm{~d} x+f_{y} \mathrm{~d} y$。
> **注 (2)**：二元函数可微的判断：验证下式是否为0
> $$
> \lim _{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} \frac{\left|\Delta z-f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x-f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y\right|}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}
> $$
> **注 (3)**：一看连续，二看偏导，三看偏导数连续，四看定义。

**定理2 (可微性的充分条件)**：若 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_{x}, f_{y}$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处二元连续，则 $f(x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微。
> **注**：条件充分而非必要。

### 3. 多元函数在一点的导数
1.  **按定义**。
2.  $f_{x}(x_{0},y_{0})=\frac{d f(x,y_{0})}{dx}$。
3.  $f_{x}$ 连续，则 $f_{x}(x_{0},y_{0})=\left.f_{x}(x,y)\right|_{(x_{0},y_{0})}$。

### 4. 要用定义计算偏导数的函数
1.  **抽象函数**
2.  **分段函数**

### 5. 多元复合函数
*   **链式法则**

### 6. 隐函数
1.  确定隐函数类型。
2.  **偏导法**（例如 $z$ 是 $x, y$ 的函数），**全微分法**（变量等价）。

### 7. 高阶偏导数计算
*   不要漏系数和幂次。

### 8. 方程变换
1.  函数关系理顺。
2.  复合函数的偏导数和高阶偏导数的计算。

### 9. 方向导数
1.  **定义**
    > $z=f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 沿方向 $\vec{l}=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的方向导数定义为：
    > $$
    > \lim _{t \rightarrow 0}\frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \sin \alpha\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}
    > $$
    > 记为 $\left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ 或 $\left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$。

2.  **方向导数的定理**
    > 设 $z=f(x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微，则 $f$ 在该点处沿任意方向 $\vec{l}=(\cos \alpha, \cos \beta)$ 的方向导数存在，且有：
    > $$
    > \frac{\partial z}{\partial \vec{l}}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta
    > $$
    > 类似地，三元函数 $u=f(x, y, z)$ 可微，则在 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 沿 $\vec{l}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 的方向导数为：
    > $$
    > \left.\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}\right|_{P_{0}}=f_{x}\left(P_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(P_{0}\right) \cos \beta+f_{z}\left(P_{0}\right) \cos \gamma
    > $$
    > **注**：单个点的方向导数最好用定义做，少用定理。

### 10. 梯度
1.  **定义**
    > 设 $u=f(x, y)$ 在点 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 处可微，称向量 $(f_{x}(P_{0}), f_{y}(P_{0}))$ 为 $f$ 在 $P_{0}$ 处的梯度，记为 $\left.\operatorname{grad} f\right|_{P_{0}}$ 或 $\operatorname{grad} f\left(P_{0}\right)$。
    >
    > 梯度 $\operatorname{grad} f$ 的模（长度）为 $\|\operatorname{grad} f\|=\sqrt{f_{x}^{2}\left(P_{0}\right)+f_{y}^{2}\left(P_{0}\right)}$。
    >
    > 引入算子记号（称为哈密顿算子或者向量微分算子）$\nabla \triangleq(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})$，则梯度可记为 $\left.\nabla f\right|_{P_{0}}$ 或 $\nabla f(P_{0})$。
    >
    > 三元类似。

2.  **意义**
    *   **简化方向导数的计算** (函数在该点处可微)
        $$
        \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =\nabla f \cdot \vec{l}^0
        $$
    *   **找到函数值增长/下降最快的方向**
        *   沿着 $\operatorname{grad} f$ 方向时，$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$ 达到最大值 $\|\operatorname{grad} f\|$，函数值增长最快。
        *   沿着 $\operatorname{grad} f$ 相反的方向时，$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}$ 达到最小值 $-\|\operatorname{grad} f\|$，函数值下降最快。
    > **注意**：最大值是向量模长，要开根号。

## 三、极值与最值

### 1. 计算极值的步骤
1.  由 $f_{x}(x, y)=0, f_{y}(x, y)=0$ 解出**驻点**。
2.  在驻点处计算 $A=f_{xx}, B=f_{xy}, C=f_{yy}$，并判断 $AC-B^2$ 的符号，利用定理确定极值点和极值。
> **注**：如果 $AC-B^2=0$，尝试特殊路径、因式分解、Taylor高阶展开等方法。

### 2. 条件极值
1.  **处理方法**
    *   将问题转化为无条件极值问题（未必都可以）。
    *   **Lagrange乘数法**
        > 利用Lagrange乘数法求函数 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的极值步骤如下：
        > 1.  明确目标函数和约束条件，构造Lagrange函数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$。
        > 2.  从方程组 $L_{x}=0, L_{y}=0, L_{\lambda}=0$ (即 $\varphi=0$) 中解出可疑极值点 $(x_{0}, y_{0})$。
        > 3.  考察 $(x_{0}, y_{0})$ 是否为极值点。
        >
        > **条件是**：$\varphi(x, y)=0$ 的隐函数存在。
        > 当问题存在条件极值，而方程组解唯一时，该点必为极值点，否则应另行讨论。
        >
        > **注意**：
        > *   在构造Lagrange函数时，需要灵活地构造。
        > *   有几个条件就可以设几个拉格朗日乘子。
        >
        > **例**：在椭球 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad (a, b, c>0)$ 内嵌入有最大体积的长方体（各面平行于坐标面）。
        >
        > **分析**：等价于求函数 $V = 8xyz$ 的最大值，或函数 $f=\ln x+\ln y+\ln z$ 在条件 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的极值问题。

### 3. 条件极值的充分条件
考虑目标函数 $f(x, y, z)$，约束条件 $\varphi(x, y, z)=0, \psi(x, y, z)=0$ 的极值问题。
*   **条件**：在 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 某邻域内，$f, \varphi, \psi \in C^{2}, L_{x}(P_{0})=L_{y}(P_{0})=L_{z}(P_{0})=0$。
*   **L-函数**：$L(x, y, z, \lambda_{1}, \lambda_{2})=f+\lambda_{1} \varphi+\lambda_{2} \psi$。
*   由 $\Delta f=f(P)-f(P_{0})=L(P)-L(P_{0})=\Delta L$。
*   **定义Hesse矩阵**：
    $$
    H \doteq \begin{pmatrix} L_{xx} & L_{xy} & L_{xz} \\ L_{yx} & L_{yy} & L_{yz} \\ L_{zx} & L_{zy} & L_{zz} \end{pmatrix}
    $$
*   **判别法**：
    *   $H(P_{0})$ **正定**时，$\Delta f>0, P_{0}$ 为**极小值**。
    *   $H(P_{0})$ **负定**时，$\Delta f<0, P_{0}$ 为**极大值**。
*   **步骤**：
    1.  按Lagrange乘数法求出可能的极值点 $P_{0}$。
    2.  关于Lagrange函数构造 $P_{0}$ 处的Hesse矩阵。
    3.  判断Hesse矩阵的正定性：
        *   $H$ 为正定阵时，$f$ 在 $P_{0}$ 处取极小值。
        *   $H$ 为负定阵时，$f$ 在 $P_{0}$ 处取极大值。
        *   $H$ 不定时，$P_{0}$ 不是极值点。

> 引进Lagrange函数，函数 $f$ 的条件极值问题转化为了 Lagrange函数 $L$ 的无条件极值问题。

### 4. 计算最值的步骤
1.  确定**驻点**、**不可导点**和**边界点**（边界点包括边界上一元函数的极值点和端点）。
2.  比较这些点函数值的大小。
> **总结**：
> 1.  $D$ 内部 $\to$ 极值点。
> 2.  $\partial D$ (边界)上 $\to$ 退化后的一元函数最值点。
> 3.  比较所有候选点的函数值。
>
> **注**：
> *   解题第一步就是要写“有界闭域上的连续函数最值必定存在”。
> *   二元函数在区域中如果有唯一的极值点，该点**不一定**是最值点。

## 四、多元函数泰勒公式

### 1. 多元函数泰勒公式
设 $f(x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 某邻域内有 $n+1$ 阶连续偏导数，则在该邻域内任一点 $(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y)$ 处恒成立：
$$
\begin{aligned}
f(x_{0}+ & \Delta x, y_{0}+\Delta y) \\
= & f(x_{0}, y_{0}) + \left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right) f(x_{0}, y_{0}) + \cdots + \frac{1}{n!}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n} f(x_{0}, y_{0}) \\
& + \frac{1}{(n+1)!}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y)
\end{aligned}
$$
其中 $0<\theta<1$。

### 2. 多元函数的微分中值定理
> 若 $f(x, y)$ 在凸区域 $D$ 上可微，则对D内任意两点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)$，存在 $0<\theta<1$ ：
> $$
> \begin{aligned}
> & f(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y)-f(x_{0}, y_{0}) \\
> = & f_{x}(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y) \Delta x+f_{y}(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y) \Delta y
> \end{aligned}
> $$
> **注**：此处的 $D$ 是个凸域，即 $D$ 上任意两点之间的连线均在 $D$ 内。

### 3. Taylor用于放缩

## 五、偏导数在几何中的应用

### 1. 空间曲线的切线与法平面
1.  **参数方程的情况**
    > 曲线 $l: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}, \quad x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t) \neq 0$
    > *   **切向量**：$(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t))$
    > *   曲线 $l$ 过 $P_{0}(x_0, y_0, z_0)$ （对应参数 $t_0$）的**切线方程**为：
    >     $$
    >     \frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)}
    >     $$
    > *   **法平面方程**为：
    >     $$
    >     x^{\prime}(t_{0})(x-x_{0}) + y^{\prime}(t_{0})(y-y_{0}) + z^{\prime}(t_{0})(z-z_{0}) = 0
    >     $$

2.  **一般式方程（曲面交线）的情况**
    > 空间光滑曲线 $\begin{cases} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0 \end{cases}$
    > *   在 $P_{0}$ 处的**法平面方程**为：
    >     $$
    >     \begin{vmatrix}
    >     x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\
    >     F_{x}(P_{0}) & F_{y}(P_{0}) & F_{z}(P_{0}) \\
    >     G_{x}(P_{0}) & G_{y}(P_{0}) & G_{z}(P_{0})
    >     \end{vmatrix} = 0
    >     $$
    > *   在 $P_{0}$ 处的**切线方程**为：
    >     $$
    >     \frac{x-x_{0}}{\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{P_{0}}}=\frac{y-y_{0}}{\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(z, x)}\right|_{P_{0}}}=\frac{z-z_{0}}{\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(x, y)}\right|_{P_{0}}}
    >     $$

### 2. 空间曲面的切平面与法线
1.  **隐式方程的情况**
    > 光滑曲面 $F(x,y,z)=0$
    > *   过 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 点的**切平面方程**为：
    >     $$
    >     F_{x}(P_{0})(x-x_{0}) + F_{y}(P_{0})(y-y_{0}) + F_{z}(P_{0})(z-z_{0}) = 0
    >     $$
    > *   过 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 点的**法线方程**为：
    >     $$
    >     \frac{x-x_{0}}{F_{x}(P_{0})}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}(P_{0})}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}(P_{0})}
    >     $$
    >     **注**：特别地，曲面 $z=f(x, y)$ 在 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 处的：
    > *   **切平面方程**为：$f_{x}(x_{0}, y_{0})(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0}, y_{0})(y-y_{0}) - (z-z_{0}) = 0$
    > *   **法线方程**为：$\frac{x-x_{0}}{f_{x}(x_{0}, y_{0})} = \frac{y-y_{0}}{f_{y}(x_{0}, y_{0})} = \frac{z-z_{0}}{-1}$

2.  **参数方程的情况**
    > 曲面 $\begin{cases} x=x(u, v) \\ y=y(u, v) \\ z=z(u, v) \end{cases}$
    > *   $P_{0}$ 点处的**切平面方程**：
    >     $$
    >     \begin{vmatrix}
    >     x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\
    >     x_{u}(P_{0}) & y_{u}(P_{0}) & z_{u}(P_{0}) \\
    >     x_{v}(P_{0}) & y_{v}(P_{0}) & z_{v}(P_{0})
    >     \end{vmatrix} = 0
    >     $$
    > *   $P_{0}$ 点处的**法线方程**：
    >     $$
    >     \frac{x-x_{0}}{\left.\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\right|_{P_{0}}} = \frac{y-y_{0}}{\left.\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right|_{P_{0}}} = \frac{z-z_{0}}{\left.\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|_{P_{0}}}
    >     $$

> **注意**：面对曲面/曲线的切（法）平面/法（切）线垂直或者平行于另一个平面或直线的情况，注意向量到底是互相平行的还是互相垂直的。